Съдържание

НОА 2022, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Телескопът.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. IV кръг, 22 юли 2021 г., Варна, теоретичен тур. Старша възраст · 15 т.

Условие

Вие сте силно пристрастен към наблюденията астроном любител и затова отивайки на поход в планината, си носите любимия светосилен 10-сантиметров телескоп с трилещов обектив-апохромат с коригирана хроматична и сферична аберация за три цвята. Освен това в раницата сте приготвили два окуляра с фокусни разстояния 5 и 25 милиметра, както и две тръбички с дължина 8 и 12 сантиметра, в които може да монтирате окулярите на различни разстояния, както и пръстен за вашия фотоапарат. Високо в планината научавате, че на видимата страна на Луната предстои да падне с голяма скорост много тежка, обаче неуспешно насочена марсианска ракета. Очаква се тя да предизвика силен взрив, който ще вдигне голям облак от лунен прах и ще образува почти стометров кратер. Пресметнато е приблизително мястото на падане, но се препоръчва визуално явлението да се наблюдава с увеличение от поне 2000 пъти.

А) Как може да направите телескоп с увеличение 2000 пъти използвайки това, което носите със себе си? Начертайте, опишете и обяснете подробно оптическата схема, като посочите всички разстояния и размери, необходими за описанието ѝ, в милиметри. Относителният отвор на телескопа е D/F = 1:5. Какви са фокусното разстояние и относителният отвор на така модифицирания телескоп?

Б) Веднага след взрива планирате да снимате разширяването на праховия облак с вашия фотоапарат. Размерът на пикселите на матрицата на фотоапарата е 6 микрона. Колко пиксела на дъгова секунда е мащабът на построения от вас телескоп, ако вместо окуляра, в който наблюдаваме с увеличение от 2000 пъти, поставим фотоапарата и снимаме през модифицирания телескоп? Сравнете резултата с броя на пикселите в дъгова секунда, ако вашият фотоапарат е във фокуса на двуметровия телескоп на Рожен, който има фокусно разстояние 16 метра.

Отговори

Решение

Решение: Телескоп с произволно увеличение може да бъде построен като единият окуляр се използва като проекционен. За него изображението на обекта във фокалната равнина на обектива е „предмет“ и той създава негово изображение на някакво разстояние от окуляра. Изображението, в нашия случай, трябва да е увеличено. Това увеличено изображение се разглежда с втория окуляр. Така може да се построяват произволно големи изображения, защото при създаване на образ от положителен оптически елемент, в случая от първия окуляр, независимо от размера на „предмета“, може да се получава негов произволно голям „образ“, като предметното разстояние се доближава до фокусното разстояние на окуляра. Както, обаче, ще видим, това изисква голямо разстояние до образа, което ще се окаже пречка в разглеждания случай за осъществяване на нашите намерения.

За пресмятане на разстоянията се използва основната формула на геометричната оптика, както и това, че отношението на размерите на образа и предмета е равно на отношението на образното и предметното разстояние. Това е така, защото са страни в подобни триъгълници, както се вижда от схемата.

Оптична схема на телескоп с окулярна проекция: отляво обектив (двупосочна стрелка) с надпис „Обектив“, в средата „Окуляр 1“, вдясно „Окуляр 2“. По оптичната ос са отбелязани разстоянията F, a, b и f₂, под оста – f₁; малкият образ l₁ при фокуса на обектива и големият обърнат образ l₂ пред втория окуляр; лъчи от обектива през окуляр 1 до l₂.

От подобните триъгълници:

\frac{l_2}{l_1} = \frac{b}{a}

\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

Фокусното разстояние на телескопа е $F$ = 500 mm. Увеличението с първия окуляр е 100 пъти, а с втория – 20 пъти. Ние искаме да получим увеличение 2000 пъти. Нека използваме първия окуляр, с фокусно разстояние $f_1$ = 5 mm, като проекционен и разглеждаме изображението с втория окуляр. За да бъде увеличението 2000 пъти трябва да увеличим еквивалентното фокусно разстояние на телескопа 100 пъти:

W_1 = 2000 = \frac{F_1}{f_2}

F_1 = W_1 \cdot f_2 = 2000 \cdot 25 = 50000\ mm = 50\ m

Отношението на размера на образа след проекционния окуляр и образа формиран от обектива на телескопа също са в отношение 100 : 1. Следователно:

\frac{l_2}{l_1} = \frac{b_1}{a_1} = \frac{F_1}{F} = 100

b_1 = 100 \cdot a_1

\frac{1}{f_1} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b_1}

a_1 = \frac{101}{100}f_1 = 1.01 \cdot f_1 = 5.05\ mm

b_1 = 100 \cdot a_1 = 505\ mm

Виждаме, че за да постигнем увеличение от 2000 пъти, трябва образът на еквивалентния телескоп да е отдалечен от първия окуляр на 505 mm.

По подобен начин пресмятаме разстоянието до образа, когато избираме за проекционен вторият окуляр:

b_2 = 20 \cdot a_2 = 525\ mm

Виждаме, че и при двата случая получаваме по-голямо разстояние от това, което може да построим с помощта на тръбичките и окулярите. Следователно не може да бъде построен телескоп с дадените удължителни тръбички и окуляри, който да има увеличение 2000 пъти. Максималната обща дължина на тръбичките е 200 mm. Ако използваме резервите от фокусировъчния пръстен на телескопа ще може да постигнем увеличение:

W_2 = \frac{200}{500} \cdot W_1 = 800\ \text{пъти}

Пресмятаме за този случай разстоянието до образа:

b_3 = 20 \cdot a_3 = 205\ mm

Фокусното разстояние е:

F_3 = W_2 \cdot f_2 = 800 \cdot 25 = 20000\ mm = 20\ m

Да пресметнем линейния мащаб във фокалната равнина на така полученият телескоп. Нека $l_0$ е отсечката върху която се изобразява 1 дъгова секунда. Тогава:

l_0 = \frac{F_3}{206265} = \frac{20000\ mm}{2062652} = 0.0969626\ mm/arcsec

Броят на пикселите в секунда е:

n_{px/arcsec} = \frac{l_0 \times 1000}{r_{mic}} = \frac{0.09696 \times 1000}{6} = 16.16\ px/arcsec

Тук $r_\mathrm{mic}$ е размерът на пикселите в микрометри.

Ако би било възможно да осъществим първия вариант на телескопа, който планирахме да има увеличение 2000 пъти, то когато проекционният окуляр е с фокусно разстояние 5 mm, еквивалентното фокусно разстояние на получения телескоп пресметнахме по-горе и то е $F_1$ = 50 000 mm. Тогава броят на пикселите в секунда е:

n_{px/arcsec} = \frac{l_0 \times 1000}{r_{mic}} = \frac{0.2424 \times 1000}{6} = 40.40\ px/arcsec

Двуметровия телескоп в НАО-Рожен има фокусно разстояние 16000 mm и следователно за него:

n_{px/arcsec} = \frac{l_0 \times 1000}{r_{mic}} = \frac{0.07757 \times 1000}{6} = 12.93\ px/arcsec

Виждаме, че с любителски телескоп посредством окулярна проекция може да получим по-подробен мащаб на изображение, отколкото с най-големия професионален телескоп в България.

Това е една малка компенсация за неосъществените визуални наблюдения с увеличение 2000 пъти.

Добре е да се има предвид, обаче, че дори и при най-добрия астроклимат толкова голям брой пиксели в секунда не подобрява изображенията и е в голяма степен излишен, особено когато снимаме слаби обекти, защото намалява светлинната ефективност на системата.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За правилно построена оптическа схема на телескоп с окулярно увеличение – 4 т.

Б) За правилно използване на информацията от оптическата схема на телескопа – 2 т.

В) За правилен начин за пресмятане на еквивалентните фокусни разстояния на телескопа след окулярната проекция – 2 т.

За верни крайни резултати – 1 т.

Г) За правилен начин за пресмятане на образното разстояние в различните случаи – 2 т.

За правилни числени резултати – 1 т.

Д) За правилен подход при пресмятането на мащаба на телескопа – 2т.

За правилни числени резултати – 1 т.

Оригинал в Архива: 22-IV-teorSt.pdf · официални решения: a22-IV-teorSt.docx