НОА 2023, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Маите и Венера

• А) Три фактора: дъгата около горното съединение (3-4) е много по-дълга от дъгата около долното съединение (1-2); около горното съединение Венера е с около 1 звездна величина по-слаба, така че минималната елонгация за видимост е по-голяма; и видимата ъглова скорост на Венера е по-малка, защото тогава тя е по-далеч от Земята.

• Б) $\frac{L_{34}}{L_{12}} \approx \frac{r_0 + r}{r_0 - r} \approx 6.14$

  Отношението на дъгите е около 6; отношението на реалните интервали на невидимост е 90 / 8 ≈ 11, разликата се дължи на останалите фактори.

За да се вижда Венера, тя трябва да е на достатъчно голямо ъглово разстояние от Слънцето. Да означим с $\alpha$ минималния ъгъл, на който планетата трябва да отстои от Слънцето. Нека отначало да приемем, че този ъгъл е един и същ и за периода, когато Венера е била Вечерница и после започва да се наблюдава като Зорница, и за периода, когато е била Зорница и после започва да се наблюдава като Вечерница. Ще разглеждаме движението на Венера в координатна система, в която Земята е неподвижна. Както се вижда от схемата, дъгата 1-2, която ще измине Венера по орбитата си в периода между своята видимост като Вечерница и като Зорница, е съществено по-къса от дъгата 3-4, която планетата ще измине в периода между своята видимост като Зорница и като Вечерница. Това е единият фактор, който има влияние.

В действителност минималното ъглово разстояние от Слънцето, при което ще можем да забелязваме Венера между нейната поява като Зорница и като Вечерница (дъгата 3-4) ще трябва да се увеличи, защото тогава планетата е с около 1 звездна величина по-слаба по блясък. Това е още един допълнителен фактор, поради който се увеличава периодът на невидимост на планетата (дъгата 3-4).

Освен това при изминаването на дъгата 3-4 видимата ъглова скорост на Венера ще е по-малка, отколкото при изминаването на дъгата 1-2, защото в първия случай тя е по-далеч от Земята, отколкото във втория. Това е третият фактор.

В приближение, при което считаме, че ъгълът $\alpha$ е достатъчно малък и еднакъв за двата случая, можем да направим оценка на отношението на дъгите 1-2 и 3-4. Ще означим техните дължини с $L_{12}$ и $L_{34}$, а радиусите на орбитите на Венера и Земята съответно с $r$ и $r_0$.

Това означава, че като изключим всички други фактори, дъгата 3-4 е около 6 пъти по-дълга от дъгата 1-2. Отношението на времевите интервали на невидимост на планетата е 90 / 8 ≈ 11 пъти. То очевидно се получава, когато се отчете влиянието и на другите фактори.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За описанието на фактора, свързан с различната дължина на дъгите, които описва Венера – 2 т.

За подходяща схема, илюстрираща този фактор – 2 т.

За обяснение относно влиянието на разликата в звездните величини на планетата в двата случая – 3 т.

За обяснение относно различните видими ъглови скорости – 3 т.

За количествени оценки – 2 т.