НОА 2023, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Кометата Хиакутаке

• А) 27 март 1996 г.
• Б) Опашката сочи в посока, противоположна на Слънцето – към точка от еклиптиката на около 6°–7° източно от есенната равноденствена точка; заради проекцията тя се чертае като крива, успоредна на небесния меридиан през Слънцето.
• В) $\Delta = \sqrt{r^{2} - a^{2}} \approx 0.11\ \text{au}$

Решение:

Както се вижда на картата, кометата е била най-близо до Полярната на 27 март 1996 г. По видимия път на картата нанасяме точка, в която главата на кометата се е намирала най-близо до Полярната звезда. Опашката на кометата трябва да е насочена в посока обратна на посоката към Слънцето. Тъй като пролетното равноденствие е на 20 или 21 март, то на 27 март Слънцето се е намирало на около 6°- 7° източно от пролетната равноденствена точка. Следователно кометната опашка трябва да сочи към точка от еклиптиката, която е на около 6°- 7° източно (наляво, по посока на нарастване на ректасцензията) от есенната равноденствена точка. Но не можем да нарисуваме кометната опашка като права отсечка, насочена по направление към тази точка, защото картата е равнинна проекция на небесната сфера. Ние трябва да се съобразим с кривината на небесните меридиани, показани на картата и да нанесем приблизително направлението на кометната опашка.

Ако кометата беше точно в северния небесен полюс, то опашката ѝ щеше да лежи почти точно по направление на небесния меридиан, който на картата е маркиран частично с прекъсната линия от тънки къси щрихи. Той минава през моментното положение на Слънцето, на около 6°- 7° източно от пролетната равноденствена точка, през полюса и през противоположната на Слънцето точка. Кометата, обаче, не е точно в полюса, а е изместена леко настрани. Мислено прекарваме през нея голям кръг, който също минава през моментното положение на Слънцето и през противоположната на Слънцето точка. Там големият кръг на кометата се пресича с описания меридиан. Максималното раздалечаване на двата кръга е недалеч от полюса и от кометата. В областта на максимално раздалечаване двата кръга са почти успоредни един на друг върху небесната сфера. Затова започваме да рисуваме опашката на кометата, като тръгваме успоредно на помощния меридиан и продължаваме към есенната равноденствена точка движейки се покрай меридиана и постепенно се приближаваме към него, защото двата големи кръга се пресичат върху еклиптиката. Резултатът е представен на картата с големи черни щтрихи, които започват от главата на кометата, която на картата е начертана с кръгче, чийто център е в най-близката до полюса точка от пътя на кометата върху небесната сфера. Покрай тях с по-тънки щтрихи е очертана вероятната зона на разположение на опашката.

За да определим разстоянието от Земята до кометата, ще приемем две приближения. Първо, ще считаме, че кометата е приблизително в северния небесен полюс и следователно тя се намира върху продължението на земната ос. Второ, датата 27 март е много близо до пролетното равноденствие. В момента на пролетното равноденствие земната ос е перпендикулярна на линията Земя-Слънце и ние ще считаме, че на 27 март ъгълът Слънце-Земя-Комета е много близък до 90°. Тогава, ако $a$ е разстоянието то Земята до Слънцето, $r$ е разстоянието от кометата до Слънцето, а $\Delta$ е разстоянието от Земята до кометата, то можем да използваме Питагоровата теорема:

Оттук получаваме:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За нанасяне на положението на кометата – 1 т.

За правилни разсъждения за посоката на опашката на кометата – 3 т.

За нанасяне на опашката на картата – 2 т.

За обосновка на метода за определяне на разстоянието Земя-комета – 4 т.

За правилно пресмятане – 2 т.