НОА 2023, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Kepler 47
XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 17 февруари 2023 г. · 12 т.
Условие
4 задача. Kepler 47. Системата Kepler 47 се състои от две звезди, които се движат по почти кръгови орбити около общия си център на масите с период 7.448 денонощия. В таблицата са дадени масите, радиусите и температурите на звездите.
| Компонента | Радиус в слънчеви радиуси | Температура | Маса в слънчеви маси |
|---|---|---|---|
| A | 0.964 | 5636 K | 1.043 |
| B | 0.3506 | 3357 K | 0.362 |
Около двойната звездна система са открити три планети. Най-външната от тях е Kepler 47c. Смята се, че тя се намира в обитаемата зона около двойната звезда. Планетата обикаля около двойната звезда с период 303.16 денонощия по почти кръгова орбита, практически лежаща в равнината на орбитите на двете звезди. Предполага се, че тя е газов гигант с плътна атмосфера от водна пара. Такава планета едва ли може да е обитаема, но би могла да има спътници, които са пригодни за живот.
А) Определете радиуса на орбитата на планетата около двойната звезда в астрономически единици.
Б) През какъв период от време от планетата ще се наблюдава преминаване на звездата A пред звездата B? [6 т.]
В) Кога планетата ще получава по-малко лъчиста енергия от двойната система – когато звездата A преминава пред звездата B, или когато звездата B преминава пред звездата A? Отговорете само качествено и обяснете своя отговор. [2 т.]
Отговори
А)
Б)
При противоположни посоки на орбиталните движения се получава денонощия; този случай не се изисква.
В) Когато звездата B преминава пред звездата A – звездата B е по-хладна и излъчва по-слабо от единица площ.
Решение
Решение:
Радиуса на орбитата на планетата около двойната звезда намираме от третия закон на Кеплер. Когато радиусът на орбитата се изразява в астрономически единици, орбиталният период – в земни години, а масите на звездите и в слънчеви маси, законът може да се запише във вида:
Оттук, като превърнем стойността на орбиталния период в години, получаваме:
Означаваме с орбиталния период на двете звезди около техния център на масите. За периода , през който от планетата ще се наблюдава преминаване на звездата A пред звездата B, можем да напишем:
Този резултата се получава ако приемем, че планетата се движи около звездите в същата посока, в която те обикалят около общия си център на масите. Може да се предполага, че това е най-често срещаният случай и е достатъчно, за да се реши задачата. Все пак, за пълнота, можем да разгледаме случая, когато орбиталните движения на звездите и на планетата стават в противоположни посоки. Тогава:
Когато звездата B преминава пред звездата A, планетата ще получава по-малко лъчиста енергия, отколкото когато звездата A преминава пред звездата B. Това е така, защото звездата B има по-ниска температура и излъчването от единица площ от нейната повърхност е по-слабо, отколкото излъчването от единица площ на звездата A.
Критерии за оценяване (общо 12 т.):
За правилен начин на пресмятане на орбиталния радиус на планетата – 4 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За правилен начин на пресмятане на интервала, през който ще се повтаря преминаването на звездата A пред звездата B – 4 т.
За верен числен резултат – 1 т.
Не се изисква пресмятането на период в случая, когато орбиталните движения на звездите и планетата с в противоположни посоки.
За правилен отговор и обяснение кога планетата ще получава по-малко лъчиста енергия – 2 т.
Оригинал в Архива: 23-II-910.pdf · официални решения: a23-II-910.pdf