НОА 2023, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5. Лунен ретро-автомобил

• А) $S = \frac{P}{0.2A} \approx 2.8\ \text{m}^{2}$

  $P = 4 \times 190\ \text{W} = 760\ \text{W}$.

• Б) $v_T = \frac{2\pi R}{T} \approx 15.41\ \text{km/h}$

  Да – скоростта на терминатора 15.41 km/h е по-малка от 18 km/h, така че автомобилът може да я достигне и дори леко да я надвиши.

• В) $t = t_1 + t_2 + t_3 = 65.32\ \text{денонощия}$

  Тръгва се при изгрев Слънце; $t_1 \approx 35.49$ денонощия, $t_2 \approx 14.765$ денонощия, $t_3 \approx 15.06$ денонощия.

Решение:

Всяко от четирите колела на лунния автомобил се задвижва от отделен двигател. Общата мощност на четирите двигателя е:

Означаваме с S необходимата площ на слънчевите панели и с A слънчевата константа. В сила ще бъде равенството:

Множителят 0.2 се въвежда за да се отчете КПД от 20% на слънчевите елементи. Оттук намираме:

Означаваме с R радиуса на Луната и с T синодичния лунен месец. Дадена точка от терминатора на Луната би трябвало да прави една обиколка по лунната повърхност за време, равно на едно слънчево денонощие за Луната, което се равнява именно на синодичния лунен месец. Скоростта на точка от терминатора на Луната, която лежи на лунния екватор, ще бъде:

Тази скорост е по-малка от скоростта $v = 18\ \text{km/h}$, с която може да се движи лунният автомобил. Следователно автомобилът може да достигне скорост равна на скоростта на терминатора, а дори и малко по-голяма от нея.

Терминаторът на Луната се движи в посока от изток към запад. Нашият лунен автомобил също се движи на запад, но при средна скорост $v_1 = 9\ \text{km/h}$ той ще изостава от терминатора. За да направим най-бързо обиколката около Луната, най-добре е да тръгнем при изгрев Слънце. В момента на тръгването нашият автомобил ще се намира на терминатора на Луната. Относителната скорост, с която терминаторът ще изпреварва автомобила, ще бъде:

Когато терминаторът изпревари автомобила с половин лунна обиколка по екватора, автомобилът ще се окаже върху противоположната точка от терминатора, в която Слънцето залязва. Можем да пресметнем интервала от време, след който ще стане това:

За това време автомобилът ще измине разстояние по лунната повърхност:

Оттук нататък за нас ще настъпи лунната нощ, през която автомобилът няма да може да се движи, тъй като на тъмно слънчевите панели няма да произвеждат електричество. Ще трябва да изчакаме да отмине лунната нощ. Нейната продължителност ще бъде:

Цялата обиколка на Луната по екватора е:

За да я завършим трябва да изминем още $L - x = 3253.91\ \text{km}$. Това ще стане за време:

Накрая пресмятаме общото време, за което можем да направим нашата окололунна обиколка:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен начин за пресмятане на площта на слънчевите панели – 2 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За пресмятане на скоростта на лунния терминатор – 2 т.

За верен извод дали лунният автомобил може да достигне тази скорост – 1 т.

За правилен метод за пресмятане на продължителността на обиколката около Луната – 5 т.

За верен числен отговор – 1 т.