НОА 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Необикновена звезда

• А) $v = \frac{v_r - v_0\cos b}{\cos\psi} \approx 554\ \text{km/s}$

  Ъгълът между SA и CA е $\psi \approx 7^\circ{.}472$ (от $\mathrm{tg}\,\psi = r_0/r$); оттук $v \approx 554$ km/s.

• Б) Не може да се направи определено заключение.

  Скоростта е около два пъти по-голяма от скоростта на Слънцето около галактичното ядро и на пръв поглед надхвърля параболичната скорост, но разпределението на тъмното вещество около Галактиката не е известно, затова въз основа на наличните данни определено заключение за гравитационната свързаност не е възможно.

• В) $CA = \sqrt{r_0^2 + r^2} \approx 61{.}52\ \text{kpc} \approx 200{.}6\times 10^3\ \text{ly},\quad t \approx 109\times 10^6\ \text{години}$

  Времето за пътуване от центъра на Галактиката е около 109 милиона години – много повече от възрастта 20 милиона години, определена по физическите параметри; затова се налага предположението, че звездата е „син бегълец“.

На дадената схема с C сме отбелязали центъра на Галактиката, с S – положението на Слънцето, а с А – местонахождението на звездата. Нека $v_0$ да бъде скоростта на движение на Слънцето около галактичния център, $v_r$ да бъде хелиоцентричната лъчева скорост на звездата, а $v$ да бъде скоростта на звездата относно центъра на Галактиката. С N е отбелязана посоката към северния галактичен полюс и скоростта на Слънцето е насочена така, че то да се движи по посока на часовниковата стрелка. С $r_0$ и $r$ са означени разстоянията от Слънцето до центъра на Галактиката и до звездата.

Приемаме, че галактичната дължина на звездата е $l \approx 270^\circ$. Отчитаме този ъгъл като тръгнем от правата SC (Слънце – галактичен център) обратно на часовниковата стрелка. Това означава, че звездата лежи в равнината, определена от правите pp и qq, като тази равнина е перпендикулярна на правата SC. Ъгълът $b = -41^\circ$ е галактичната ширина на звездата. Неговата отрицателна стойност означава, че звездата се намира в южната галактична полусфера. Хелиоцентричната лъчева скорост на звездата $v_r$ е насочена по правата SA. По условие скоростта $v$ относно галактичния център е насочена по правата CA.

Отсечката SA лежи в равнината, определена от правите pp и qq. Следователно тя също е перпендикулярна на отсечката CS. Оттук можем да намерим ъгъла $\psi$ между отсечките SA и CA:

Пренасяме вектора на скоростта на Слънцето $v_0$ при звездата в точка А. Виждаме, че хелиоцентричната лъчева скорост на звездата се състои от две компоненти – проекцията на действителната скорост на звездата относно центъра на галактиката и взетата със знак минус проекция на скоростта на Слънцето върху правата SA:

Оттук получаваме:

Скоростта, с която звездата се отдалечава от центъра на Галактиката, наистина е много висока. Тя е около два пъти по-голяма от скоростта, с която се движи Слънцето около галактичното ядро. Оттук на пръв поглед можем да направим извода, че скоростта на звездата е по-голяма от параболичната скорост (скоростта на избягване) за разстоянието, на което тя се намира от центъра на Галактиката. Но не е ясно как е разпределено тъмното вещество около нашата Галактика и затова, вероятно, не е възможно определено заключение за гравитационната свързаност на звездата с Галактиката въз основа на данните, с които разполагаме.

Разстоянието на звездата от центъра на Галактиката е:

Да пресметнем колко пъти скоростта на звездата $v = 554$ km/s е по-малка от скоростта на светлината:

Следователно, за да измине разстоянието CA, на звездата ще ѝ е необходимо време:

Ако звездата е излетяла от централната област на Галактиката, сигурно отначало нейната скорост е била по-голяма и времето за нейното пътешествие навярно е било по-кратко от 109 милиона години. Но възрастта на звездата, оценена по нейните физически параметри, е само 20 милиона години. Затова се налага, да се приеме предположението, че тя е от вида на „сините бегълци“.

Критерии за оценяване (общо 13 т.)

• За представяне на подходяща схема и общо разбиране на разположението на звездата относно Слънцето и центъра на Галактиката, както и за обща геометрична представа за скоростите – 4 т.
• За определяне на скоростта относно галактичния център – 3 т.
• За разсъждения относно гравитационната свързаност на звездата с Галактиката – 3 т.
• За определяне на времето за пътуване на звездата и извод относно хипотезата за „сините бегълци“ – 3 т.