Съдържание

НОА 2023, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1. Планетата Боинайел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, III кръг (национален), ученици от 7-8 клас · 6 май 2023 г. · 12 т.

Условие

Звездата WASP-6 е наречена Мароху – духът на ясното небе според митологията на изчезналите карибски племена Таино. Около звездата обикаля планета, на която е дадено името Боинайел – брат близнак на Мароху и бог на дъжда. Мароху е жълта звезда от спектрален клас G8 с маса 0.88 слънчеви маси. Планетата Боинайел има маса 1/2 от масата на Юпитер и радиус 1.22 радиуси на Юпитер. Боинайел прави една обиколка около Мароху за 3.36 земни дни.

А) Пресметнете разстоянието от Боинайел до звездата Мароху. Можете да използвате III Закон на Кеплер във вида

\frac{r^3}{T^2} = M

където r е радиусът на орбитата в астрономически единици, T е орбиталният период в години, а M е масата на звездата в слънчеви маси.

Астрономическата единица е 1 au = $149.6\times10^{6}$ km. (3т.) [3 т.]

Б) Пресметнете средната плътност на Боинайел. По-висока ли е тя от плътността на водата при нормални условия? Средната плътност на Юпитер е 1326 kg/m $^3$ . (3т.) [3 т.]

В) Има ли връзка между резултата, получен от вас в подусловие А) и резултата от подусловие Б)? Какво можете да предположите за състава на планетата и за физичните условия на повърхността ѝ? (3т.) [3 т.]

Г) Пресметнете средната скорост на Боинайел по нейната орбита. Колко пъти по-висока е тя от максималната скорост на боен самолет F-16 (около 2100 km/h)? (3т.) [3 т.]

Отговори

Решение

А) Прилагаме III Закон на Кеплер в дадения вид:

\frac{r^3}{T^2} = M

и получаваме

r = \left(0.88\times(3.36/365.25)^2\right)^{1/3} = 0.042\ \mathrm{au} = 6.29\times10^{6}\ \mathrm{km}

(3т.)

Б) Пресмятаме обема на Боинайел (сфера с радиус $R = 1.22R_J$ ):

V = \frac{4}{3}\pi R^3

Намираме средната плътност на Боинайел:

\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3}

Аналогично, средната плътност на Юпитер (маса $M_J$ , радиус $R_J$ ) ще бъде:

\rho_J = \frac{3M_J}{4\pi R_J^{3}}

Делим почленно последните две уравнения и получаваме:

\frac{\rho}{\rho_J} = \frac{\dfrac{M}{M_J}}{\left(\dfrac{R}{R_J}\right)^{3}} = 0.5/1.22^{3} = 0.275

\rho = 0.275\rho_J = 365\ \mathrm{kg/m^3}

Водата при нормални условия в течно състояние има плътност 1000 kg/m $^3$ , т.е. средната плътност на Боинайел е значително по-ниска. (3т.)

В) Отговорът е положителен. В подусловие А) пресметнахме, че Боинайел е изключително близо до звездата си – само на 6.3 милиона километра (за сравнение, Меркурий е средно на около 58 милиона километра от Слънцето). Съответно, звездата нагрява силно планетата и газовете във външните ѝ слоеве се разширяват. На това се дължи ниската средна плътност, получена в подусловие Б).

От параметрите на планетата е видно, че тя е газов гигант и вероятно е съставена основно от леки елементи (водород, хелий), подобно на Юпитер. Температурата на повърхността ѝ трябва да е много висока заради близостта до звездата, поради което външните слоеве на планетата са изцяло в газообразно състояние. Възможно е обаче планетата да има малко твърдо ядро. Този клас газови гиганти с малки орбити като Боинайел се наричат „горещи Юпитери”. (3т.)

Г) Скоростта на Боинайел по орбитата е:

v = \frac{2\pi r}{T} = 490\,000\ \mathrm{km/h} = 136\ \mathrm{km/s}

Тази скорост е (490 000 / 2100) = 233 пъти по-висока от максималната скорост на бойния самолет F-16. (3т.)

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За коректно изчисление на радиуса на орбитата (в au или km): 3т.

Б) За коректни формули за плътността, изчисления и сравнение с водата: 3т.

В) За коректни качествени съображения за връзката между резултатите и състава на планетата / условията на повърхността: 3т.

Г) За коректна формула за скоростта, изчисление и сравнение: 3т.

Оригинал в Архива: 23-III-78-teor.pdf · официални решения: a23-III-78-teor.docx