Съдържание

НОА 2023, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Ново Слънце

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, III кръг (национален), ученици от 9-10 клас · 6 май 2023 г. · 12 т.

Условие

Ново Слънце. В далечното бъдеще с напредването на еволюцията на Слънцето човешката цивилизация решава да премести цялата Земя около друга подходяща звезда. На първо време Земята се отправя към звездата Проксима от Центавър и влиза в кръгова орбита около нея. Орбиталният радиус е такъв, че нашата планета да получава от звездата същото количество лъчиста енергия, каквото получава сега от Слънцето.

Масата на Проксима е 0.1221 слънчеви маси, а нейната болометрична светимост е 0.001567 части от слънчевата светимост. Разстоянието от Земята до Слънцето е $149.6 \times 10^{6}$ km.

А) Намерете радиуса на орбитата на Земята около Проксима в астрономически единици и в километри. [3 т.]

Б) През какъв период от време земните жители ще празнуват Нова година? [3 т.]

В) С мощните технически средства на напредналата човешка цивилизация се изменя периодът на околоосно въртене на Земята. Какъв трябва да бъде той, така че слънчевото денонощие на Земята да е равно на 24 часа? [3 т.]

Г) Какво ще бъде усещането на земните жители за дневната светлина при тези условия – ще бъде ли за техните очи тя така ярка, както е сега, когато Земята обикаля около Слънцето? [3 т.]

Отговори

Решение

Нека означим с $E_{0}$ осветеността, която Слънцето създава на Земята. Тя трябва да е равна на осветеността $E$ , която Проксима създава върху нашата планета след нейното преместване около тази звезда. Ако $L_{0}$ и $L$ са светимостите на Слънцето и Проксима, $r_{0}$ е сегашното разстояние от Земята до Слънцето, а $r$ е подходящото разстояние, на което трябва да се разположи Земята от Проксима, то можем да напишем:

E_{0}=\frac{L_{0}}{4\pi r_{0}^{2}}\qquad E=\frac{L}{4\pi r^{2}}\qquad E_{0}=E

Оттук получаваме:

\frac{r}{r_{0}}=\sqrt{\frac{L}{L_{0}}}

r=\sqrt{0.001567}\approx 0.03959\ \mathrm{au}\approx 5.922\times 10^{6}\ \mathrm{km}

Това разстояние е примерно около 10 пъти по-малко от разстоянието от Меркурий до Слънцето.

Орбиталния период $T$ на Земята около Проксима ще намерим от III закон на Кеплер:

\frac{r^{3}}{T^{2}}=M

Тук радиусът на земната орбита $r$ е изразен в астрономически единици, периодът е в земни години, а масата на Проксима $M$ е в слънчеви маси.

T=\sqrt{\frac{r^{3}}{M}}\approx 0.022543\ \text{години}\approx 8.234\ \text{денонощия}\approx 8^{d}5^{h}37^{m}

Земните жители ще посрещат Нова година на всеки 8 дни 5 часа и 37 минути.

Трябва да пресметнем периода на околоосно въртене на Земята $P_{0}$ , при който слънчевото денонощие за земните жители ще бъде $P=24^{h}$ . Ако Земята се върти около оста си в същата посока, в която се движи около Проксима, то е в сила равенството:

\frac{1}{P}=\frac{1}{P_{0}}-\frac{1}{T}

P_{0}=\frac{PT}{T+P}\approx 21.4\ \mathrm{h}\approx 21^{h}24^{m}

Нашето Слънце излъчва с максимална интензивност във видимата част от спектъра. Звездата Проксима обаче, е червено джудже. По-голямата част от нейното лъчение е в инфрачервената област от спектъра. По условие цялата лъчиста енергия, която ще получава от нея нашата планета, ще бъде равна на тази, която сега получаваме от Слънцето. Но лъчистата енергия от Проксима ще е преразпределена в спектъра, така че яркостта на звездата във видима светлина ще е намалена за сметка на нейното увеличение в инфрачервения диапазон. Следователно за очите на земните жители дневната светлина ще бъде доста по-слаба, отколкото е сега за нас под нашето Слънце.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За намиране на радиуса на земната орбита около Проксима – 3 т.
За намиране на орбиталния период на Земята около Проксима – 3 т.
За намиране на периода на околоосно въртене на Земята – 3 т.
За обяснение относно яркостта на дневната светлина – 3 т.

Оригинал в Архива: 23-III-910-teor.pdf · официални решения: a23-III-910-teor.docx