НОА 2023, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Наблюдения на Алдерамин

• А) $\varphi_{A}=+43°00'.5\ \mathrm{N},\qquad \lambda_{A}=89.50°\ \mathrm{W}$

• Б) $s=2\pi R_{E}\frac{\Delta\varphi}{360°}=3830\ \mathrm{km}$

  φ_B = 90° − δ/5 = +77.48° = 77°29′ N; Δφ = 34.48°.

• В) 22 звезди

  Истинският брой е по-голям – в действителност по-ярките от Алдерамин звезди в северната хемисфера са 43, защото голяма част от ярките звезди са гиганти с много по-големи светимости от средните и се виждат от много по-големи разстояния.

А) От възможните местонахождения на точката А веднага можем да изключим зоната от южната до северната тропична окръжност. Там има дни от годината, когато Слънцето кулминира в зенита, а поради високата си деклинация Алдерамин не може да се окаже в зенита за никоя точка в тази зона. Изключваме също и областта на юг от южната тропична окръжност. Там Слънцето кулминира винаги на север, но звездата Алдерамин в горна кулминация винаги ще бъде по-ниско над хоризонта, отколкото Слънцето. При видимото си годишно движение по еклиптиката Слънцето достига до максимална деклинация $+23°26$ в северната небесна полусфера. Това се случва в деня на лятното слънцестояние. Слънцето не може да достигне до такава деклинация, каквато е деклинацията на Алдерамин. Ето защо, ако наблюдателят се намира в северното полукълбо, Слънцето ще кулминира на юг от зенита, а Алдерамин трябва да кулминира на север от зенита. На схемата с А е означена точката, в която е горната кулминация на Алдерамин, а с С – точката, в която кулминира Слънцето. Алдерамин и Слънцето кулминират на една и съща височина над хоризонта, Следователно, зенитът Z ще бъде на еднакво отстояние от двете точки (ZA = ZC) и ще има деклинация, равна на средната аритметична стойност от деклинациите на Слънцето и на Алдерамин: $(62°35'+23°26')/2 = +43°00'.5$.

Деклинацията на зенита е равна на географската ширина на наблюдателния пункт, т.е. географската ширина на точката, където се намира астрономът, е $+43°00'.5$ N.

По време на есенното равноденствие (23 септември) звездите с ректасцензия $0^{h}$ кулминират в 00:00 ч. по Универсално време на Гринуичкия меридиан (географска дължина 0°). Всеки следващ ден те ще кулминират с около 4 мин по-рано. След 15 дни, на 6 октомври, ще кулминират вече 60 минути по-рано за същия меридиан, или в 23:00 UT. Алдерамин има ректасцензия $21^{h}19^{m}$. По ректасцензия тази звезда отстои на $2^{h}41^{m}$ от нулевия небесен меридиан. На 6 октомври тя ще кулминира с 2h 41m по-рано от звездите с ректасцензия $0^{h}$, или в 20:19 UT, а на 5 октомври вечерта ще кулминира в 20:23 UT. За мястото, където се намира астрономът, Алдерамин кулминира в 02:20 UT на 6 октомври, или 5 h 57 min по-късно. Следователно наблюдателният пункт на астронома се намира на $5^{h}57^{m} + 1m = 5^{h}58^{m}$ = 89.5° на запад от Гринуичкия меридиан. Тъй като Земята се върти в посока от запад към изток, дадена звезда ще кулминира по-рано на по-източните дължини. Разликата от 1 минута идва от това, че на 24h по географска дължина Земята се завърта спрямо звездите за 23h 56min.

Географските координати на мястото на наблюдението са: 89.50°W 43.00°N. (4т.)

Б) Ако и двете кулминации на Алдерамин са северно от зенита, отношението на височините над хоризонта при всички случаи ще надвишава 1.5. Ситуацията е възможна само ако горната кулминация на Алдерамин е южно от зенита в точка А, а долната – северно от зенита в точка B. Максималната и минималната височини на звездата ще бъдат:

Решаваме уравнението

На чертежа N – север, S – юг, Z – зенит, P – северен небесен полюс, Q – най-високата точка от небесния екватор. Нанесени са денонощният паралел на Алдерамин, хоризонтът и небесният екватор.

Точките A и B са на един и същи меридиан, на ъглово разстояние една от друга $\Delta\varphi = 34.48°$. Радиусът на Земята е $R_{E} = 6370$ km. Линейното разстояние (дължината на дъгата $s$) по меридиана е

(4т.)

В) Нека да работим с много грубо приближение, при което близките звезди са с еднаква светимост $L$ и са разпределени равномерно в пространството. Тогава наблюдаваме 5600 звезди в радиус $r_{0}$, където $r_{0}$ е най-голямото разстояние, на което можем да видим звезда със светимост $L$ с просто око (звездна величина до $6.0^{m}$). Ако $r_{A}$ е разстоянието, на което виждаме звезда със светимост $L$ със звездна величина $2.51^{m}$, то звездите, по-ярки от Алдерамин, са в сфера с радиус $r_{A}$. Тъй като лъчистият поток от звездите Ф e пропорционален на $1/r^{2}$, можем да запишем формулата на Погсън, сравнявайки разстоянията до звездите със звездна величина 2.51 и 6.0:

Тъй като обемът на сферата е пропорционален на $r^{3}$, пространството, в което са всичките 5600 звезди, видими с просто око, ще бъде $4.988^{3} = 124$ пъти по-голямо от пространството, в което са звездите, по-ярки от Алдерамин. При равномерно разпределение звездите, по-ярки от Алдерамин, ще бъдат ~5600/124 = 45 на брой. Наблюдателят е на северния полюс, откъдето се виждат само звезди с положителна деклинация, т.е. приблизително половината от всички ярки звезди. Следователно, можем да очакваме да вижда 22 звезди, по-ярки от Алдерамин.

В действителност, по-ярките от Алдерамин звезди в северната хемисфера са 43. Приближението за хомогенно разпределение в пространството е добро, но приближението за еднаква светимост не е. В действителност голяма част от ярките звезди са гиганти, които са с много по-големи светимости от средните за обикновените звезди и те могат да се наблюдават от по-големи разстояния (много по-далече от $r_{A}$). Поради това оценката ни е около 2 пъти по-ниска от действителната стойност. (4т.)

Критерии за оценка:

• А) За правилно изчислени географски координати на т.A: 4т.
• Б) За правилно изчислено разстояние AB: 4т.
• В) За сравнително добър метод, оценка на броя и качествени съображения: 4т.