Съдържание

НОА 2023, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Астероиди близнаци

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

Министерство на образованието и науката. Комисия за провеждане на олимпиадата по астрономия. XXVI Национална олимпиада по астрономия. IV кръг, 14.07.2023 г., Варна, теоретичен тур. Младша възраст · 14 юли 2023 г. · 15 т.

Условие

Два астероида имат еднакви по форма орбити, лежащи в равнината на еклиптиката. За наблюдател от астероид $A$ Слънцето има максимален видим ъглов размер, когато е с еклиптична дължина $16^{\circ}$ . За наблюдател от астероид $B$ то има максимален ъглов размер, когато е с еклиптична дължина $196^{\circ}$ . Двата астероида обикалят около Слънцето в една и съща посока, като всеки от тях прави своята обиколка за 4.44 години. В момент 1 и двата астероида са на разстояние от Слънцето, равно на голямата полуос на техните орбити. Тогава за наблюдател от единия астероид елонгацията на другия астероид (видимото му ъглово отстояние от Слънцето) е равна на $58^{\circ}$ .

а) Определете голямата полуос и ексцентрицитета на орбитите на двата астероида. [4 т.]

б) Определете разстоянието между двата астероида и относителната скорост на единия спрямо другия в момент 1. [3 т.]

За астероид $B$ следващото преминаване през перихелия на неговата орбита ще бъде в момент 2, а за астероид $A$ – в по-късния момент 3.

в) Колко дни след момент 1 ще бъде датата, намираща се по средата между момент 2 и момент 3? [2 т.]

В момент 2, за наблюдател на астероида, който тогава е в перихелий, Слънцето има видима ъглова скорост $\omega$ на фона на звездното небе.

г) Колко дни след момент 2 Слънцето ще достигне до еклиптична дължина $196^{\circ}$ за наблюдател от астероид $A$ ? [3 т.]

д) Каква ще бъде за наблюдател от астероид $A$ видимата ъглова скорост на Слънцето, когато то е с еклиптична дължина $196^{\circ}$ ? Изразете тази ъглова скорост чрез величината $\omega$ . [3 т.]

Решение

Решение:

а) Слънцето има максимален ъглов размер, гледан от всеки астероид в перихелий. Точките, в които това се случва за астероидите A и B, са срещуположни ( $196^{\circ} - 16^{\circ} = 180^{\circ}$ ), следователно перихелиите на двете орбити са срещуположни.

Две еднакви елипси с общ фокус S (Слънцето) и срещуположни перихелии; означени са точките A_A, P_B, O_A, S, O_B, P_A, A_B по голямата ос, точките C_A и C_B на малките оси със стрелки за посоката на движение и ъгълът θ при S и при C_A.

Голямата полуос намираме от III закон на Кеплер, в мерни единици AU и yr:

\frac{a^3}{T^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \boxed{2.70\ \mathrm{au}.}

Разстоянието от Слънцето е равно на голямата полуос на орбитата, когато астероидът пресича малката ос, следователно в момент 1 двата астероида са в точки $C_A$ и $C_B$ на чертежа. От геометрията на елипса знаем, че $SC_A = a$ , $SO_A = ea$ . Следователно за елонгацията $\theta$ в момент 1 важи

e = \cos\theta = \frac{SO_A}{SC_A} = \boxed{0.53.}

б) От чертежа виждаме, че разстоянието между астероидите в момент 1 е $C_A C_B = O_A O_B = 2ea = \boxed{2.86\ \mathrm{au}.}$ Двата астероида са на еднакво разстояние до Слънцето, по еднакви орбити, следователно скоростите им са еднакви. От чертежа те са в една и съща посока, следователно скоростта на единия спрямо другия е $\boxed{0.}$

в) В момент 2 астероид B е в точка $P_B$ , а в момент 3 астероид A е в $P_A$ . Площта, описана от отсечката Слънце-астероид B от точка $C_B$ до точка $P_B$ е $S_{12}$ . Площта, описана от отсечката Слънце-астероид A от точка $C_A$ до точка $P_A$ , е $S_{13}$ .

От чертежа забелязваме, че $S_{12} + S_{13}$ дава цялата площ на елипсата. Следователно по II закон на Кеплер $t_{12} + t_{13} = T$ . Времето от момент 1 до момента по средата между 2 и 3 е

(t_{12} + t_{13})/2 = T/2 = 2.22\ \mathrm{yr} = \boxed{811\ \mathrm{d}.}

г) Слънцето $S$ е на еклиптична дължина $196^{\circ}$ , гледано от точки $P_B$ и $A_A$ . От чертежа описаната площ между точки $C_B$ и $P_B$ е

S_{12} = \frac{\pi ab}{4} - \frac{eab}{2} = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{e}{2}\right) ab.

Описаната площ между точки $C_A$ и $A_A$ е

S_{14} = \frac{\pi ab}{4} + \frac{eab}{2} = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{e}{2}\right) ab.

Интервала $\Delta t$ между преминаванията на астероид B през $P_B$ и на астероид A през $A_A$ намираме по II закон на Кеплер от разликата на тези две площи $\Delta S$ :

\frac{\Delta t}{T} = \frac{\Delta S}{\pi ab} = \frac{eab}{\pi ab} = \frac{e}{\pi}.

\Delta t = \frac{e}{\pi} = 0.749\ \mathrm{yr} = \boxed{273\ \mathrm{d}.}

д) Слънцето ще се движи с ъглова скорост $\omega_A$ , гледано от афелия в точка $A_A$ , докато ъгловата скорост в перихелий е $\omega_P = \omega$ . От закона за запазване на момента на импулса

m\omega r^2 = \mathrm{const},

\omega_P r_P^2 = \omega_A r_A^2,

\omega_A = \omega_P \frac{r_P^2}{r_A^2} = \left(\frac{1-e}{1+e}\right)^2 \omega_P = \boxed{0.094\omega.}

Александър Куртенков

Критерии за оценяване (15 т.):

∅

Оригинал в Архива: 23-IV-teorML.pdf · официални решения: a23-IV-teorML.pdf