НОА 2023, IV кръг, Младша възраст — Задача 3. Коя е планетата?

Решение:

а) Виждаме, че разликата в ректасцензиите на двете положения по небето, в които планетата е в максимална елонгация е $\Delta\alpha = 2^{\mathrm{h}}52^{\mathrm{m}} = 43^{\circ}$. По деклинация разликата е $\Delta\delta = 16^{\circ}27'$. Съвсем приблизително, можем да намерим ъгловото отстояние $X$, използвайки питагоровата теорема:

Допълнение: За да намерим точно ъгловото отстояние между двете точки, е необходимо да използваме сферична тригонометрия. По този начин се получава, че $X \approx 44.5^{\circ}$, което е достатъчно близко до полученото по приблизителния метод. □

Нека сега да намерим какво е ъгловото отстояние по небето на точките, в които Меркурий и Венера се намират, в две поредни свои максимални елонгации. Максималното възможно ъглово отстояние $\alpha_{\max}$ между една вътрешна планета и Слънцето може да се определи от

Сега бихме могли да докажем количествено, че тази планета е Венера. Нека с $T_V$ означим нейния орбитален период, а с $T_E$ – този на Земята. Синодичният период на Венера е

Интервалът от време между максимална източна и максимална западна елонгация на Венера би следвало да бъде

За това време Слънцето се е преместило с приблизително $144^{\circ}$ на изток по еклиптиката. От друга страна, Венера би трябвало да се е преместила с ъгъл $2\alpha_{\max} = 92^{\circ}$ в източна посока относно Слънцето. Следователно ъгловото отстояние по небето между точките, в които Венера е била в двете поредни максимални елонгации, се очаква да е $144^{\circ} - 92^{\circ} = 52^{\circ}$. Получената стойност е близка до реално наблюдаваната, макар и да има някаква разлика. Повтаряме пресмятането за Меркурий и намираме твърде различен отговор. Така правим извод, че планетата е $\boxed{\text{Венера.}}$

Да преминем на външната планета. По време на опозиция външните планети се намират в (или много близо до) точка от небесната сфера, която е противоположна на точката от еклиптиката, в която се намира Слънцето. Това означава, че ректасцензиите на Слънцето и планетите в тази конфигурация се различават с 12 часа. Оттук получаваме, че в двата момента на противостояние Слънцето е имало ректасцензии $14^{\mathrm{h}}56^{\mathrm{m}}57^{\mathrm{s}}$ и $15^{\mathrm{h}}13^{\mathrm{m}}35^{\mathrm{s}}$. Разликата им е $16^{\mathrm{m}}38^{\mathrm{s}}$ или около $4^{\circ}10'$.

Всички планети в Слънчевата система се движат в една посока по орбитите, така че за времето между противостоянията Слънцето е изминало около $360^{\circ} + 4^{\circ}10' = 364^{\circ}10'$ по еклиптиката. Интервалът от време между тях е

което се явява синодичният период на планетата. Ако сидеричният период на планетата е $T_{\mathrm{sid}}$, то

Тогава $T_{\mathrm{sid}} \approx 92.8\ \mathrm{yr}$. По това разпознаваме, че планетата е $\boxed{\text{Уран.}}$

Получените разлики се дължат главно на следните две причини:

• Поради наклона на еклиптиката към небесния екватор, ректасцензията на Слънцето не се променя равномерно с времето. Затова разликата в ректазцензиите не съответства точно на ъгловото отстояние между положенията на Слънцето в двата момента.
• Планетите всъщност се движат по елиптични орбити и по тази причина техните скорости не са постоянни с времето. Същото твърдение важи и за Земята. Поради това е възможно продължителността на синодичния период на дадена планета да варира.

б) При максимална елонгация вътрешната планета се намира на максималното възможно ъглово отстояние от Слънцето за земния наблюдател. В този момент това ъглово отстояние спира да расте и започва на намалява. Това означава, че в точно в тази конфигурация планетата е „неподвижна“ относно Слънцето от гледна точка на земния наблюдател. Следователно, видимата ъглова скорост на вътрешната планета $\omega$ на фона на далечните звезди е точно равна на ъгловата скорост, с която Слънцето се премества по еклиптиката. Точната стойност е малко по-малко от $1^{\circ}/\mathrm{d}$, което е и орбиталната ъглова скорост на Земята. Това обаче не зависи от радиуса на планетната орбита, т.е. измервайки $\omega$, не можем да определим коя е тази планета. Всъщност, така можем да определим орбиталния период на Земята :).

Никола Каравасилев

Критерии за оценяване (15 т.):

– За намиране на ъгловото отстояние между двете положения на планетата 2 т.
– За количествени разсъждения относно двете вътрешни планети 3 т.
– За правилен отговор 1 т.
– За ректасцензията на Слънцето в момента на противостояние 1 т.
– За намиране на синодичния период 1 т.
– За намиране на сидеричния период, вярна стойност и извод коя е планетата 1 т.
– За обяснение на разликите между получените и истинските орбитални периоди 1 т.

– За доказване, че видимата ъглова скорост на вътрешната планета е равна на слънчевата 3 т.
– За извод, че използвайки само тази ъглова скорост, не можем да разпознаем коя е планетата 2 т.