НОА 2023, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Хипотетичен Марс

• а) 0.206
• б) $m_{\max} = -4.4^{\mathrm{m}}$, $m_{\min} = -0.5^{\mathrm{m}}$
• в) Времето между две поредни велики противостояния няма да се промени.
• г) $t = 4.1\ \mathrm{h}$, $t' = 12.9\ \mathrm{h}$

Решение:

а) За да не се наблюдава ретроградно движение, е нужно скоростта на Марс в противостояние $V_p$ да бъде равна или по-голяма от скоростта, с която Земята се движи по своята орбита $V_E$. Тъй като се разглежда велико противостояние, то Марс трябва да преминава през перихелий в този момент. Скоростта на Земята е $V_E = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_E}}$, където $M_\odot$ е масата на Слънцето, а $r_E = 1\ \mathrm{AU}$ е радиусът на земната орбита. Нека да означим с $e$ търсения ексцентрицитет. Скоростта на Марс се изразява с $V_p = \sqrt{\frac{GM_\odot}{a_M}\frac{1+e}{1-e}}$. Приравнявайки скоростите, получаваме $\frac{a_M}{r_E} = \frac{1+e}{1-e}$. Оттук следва

За да не се наблюдава ретроградно движение, ексцентрицитетът на марсианската орбита трябва да е по-голям от тази стойност.

б) Когато Марс е във велико противостояние, той се намира на разстояние от Слънцето $r_1 = a_M(1-e') = 1.38\ \mathrm{AU}$ и разстоянието до Земята е $r_2 = r_1 - r_E = 0.38\ \mathrm{AU}$. Означаваме с $E$ осветеността, която Марс създава във велико противостояние. Тогава може да запишем, че

Ако Марс се движи по хипотетичната орбита, ще бъде най-ярък в противостояние, ако се намира в перихелия на орбитата си. Тогава разстоянието между Марс и Слънцето би било $r_3 = a_M(1-e) = 1.21\ \mathrm{AU}$, a разстоянието до Земята е $r_4 = a_M(1-e) - r_E \approx 0.21\ \mathrm{AU}$. Ако осветеността, която се създава от Марс по време на велико противостояние, но обикаляйки по новата орбита, е $E_{\max}$, то можем да запишем, че

Нека звездната величина, която съответства на тази осветеност, e $m_{\max}$. За да намерим точните изрази за съответните осветености, трябва да отчетем и други фактори (размер и отражателна способност на Марс). Тъй като и в двата случая планетата е една и съща, тези параметри не се променят. Следователно можем да запишем следното съотношение:

Съгласно закона на Погсън

Ако в момента на своята опозиция Марс преминава през афелия на своята орбита, то разстоянията от него до Слънцето и до Земята са съответно $r_5 = a_M(1+e) = 1.83\ \mathrm{AU}$ и $r_6 = a_M(1+e) - r_E = 0.83\ \mathrm{AU}$. Ако осветеността, която Марс ще създава върху Земята в този момент, е $E_{\min}$, а звездната величина е $m_{\min}$, то

и съответно

Оттук по закона на Погсън

в) Съгласно третия закон на Кеплер, орбиталният период на всяка планета зависи само от голямата полуос на нейната орбита. Тъй като Марс запазва голямата полуос на орбитата си, то и периодът, за който той обикаля около Слънцето, ще остане същият. Великите противостояния се наблюдават, когато Марс е близо до перихелия на орбитата си. Интервалът от време между две поредни такива конфигурации зависи само от орбиталните периоди на двете планети (приблизително е равен на най-малкото общо кратно). Следователно времето, което изминава между две поредни велики противостояния, няма да се промени.

г) Ако Марс има минималния нужен ексцентрицитет, при който не се наблюдава ретроградно движение, в момента на противостояние линейните скорости на двете планети са равни по големина. Това означава, че Марс не би следвало да се движи на фона на звездите, гледано от нашата планета. Но поради това, че нашата Земя се върти около оста си, за наблюдател на екватора Марс ще се движи от изток на запад (т.е. ще бъде ретрограден).

Видимият ъглов диаметър на Марс по време на великото противостояние е $\delta_M = \frac{2R_M}{r_4}$. Скоростта на точка от земния екватор е $V = \frac{2\pi R_E}{24\ \mathrm{h}} = 0.46\ \mathrm{km/s}$. Това означава, че видимата ъглова скорост на Марс за този наблюдател е $\omega_1 = \frac{V}{r_4}$. Продължителността на окултацията е равна на времето, за което Марс ще измине един свой диаметър на фона на звездите. Това означава, че:

Сега да разгледаме и пасажа на Земята. Ъгловата скорост на Слънцето за наблюдател на Марс в момента на противостоене е $\omega_2 = \frac{V_E}{r_3}$. Относителната ъглова скорост на Земята спрямо Слънцето, гледано от Марс, ще бъде именно $\omega_2$. Това е така, защото Земята и Марс имат равни линейни скорости, което означава, че нашата планета не се движи на фона на звездите за Марс. Видимият ъглов размер на Слънцето за Марс е $\delta_\odot = \frac{2R_\odot}{r_3}$. Следователно търсената продължителност на преминаването на Земята пред диска на Слънцето е:

Никола Каравасилев

– За съобразяване, че линейните скорости при противостояние са равни 1 т.

– За скоростта на Марс в перихелий 1 т.

– За израз и вярна числена стойност за ексцентрицитета 1 т.

– За изрази за разстоянията Марс-Земя/Марс-Слънце в трите случая и числени стойности 1.5 т.

– За правилни съображения за осветеностите от Марс върху Земята 1.5 т.

– За съотношения между осветеностите 1 т.

– За приложение на закон на Погсън и изрази/стойности за търсените звездни величини 1 т.

– За обяснение на факторите, от които зависи интервалът между велики противостояния 1 т.

– За правилен извод, че интервалът няма да се промени 1 т.

– За линейната скорост на точка от екватора 0.5 т.

– За видимата ъглова скорост и ъгловия размер на Марс 1 т.

– За израз и вярна числена стойност за търсената продължителност 1 т.

– За изразяване на относителната ъглова скорост на Земята спрямо Слънцето от Марс 1.5 т.

– За израз и вярна числена стойност за продължителността на пасажа 1 т.