Съдържание

НОА 2023, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Двойственост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

Министерство на образованието и науката — Комисия за провеждане на олимпиадата по астрономия — XXVI Национална олимпиада по астрономия — IV кръг, 14.07.2023 г., Варна, теоретичен тур — Старша възраст · 14 юли 2023 г. · 15 т.

Условие

Запасен с достатъчно хляб и пърленки за дългата вечер, бележитият астроном Чавдар Ненов прави наблюдения на близка затъмнително двойна система с новия 1.5-метров телескоп на НАО Рожен. Компонентите на системата са сферични звезди от главната последователност и масите им са по-малки от масата на Слънцето. Времето между всеки два съседни минимума в кривата на блясъка на системата е $T = 4.42\ \mathrm{h}$ , измервано от център до център. Всички минимуми имат продължителност $\Delta t = 2.05\ \mathrm{h}$ и еднаква дълбочина $\Delta m = 0.753$ в болометрични звездни величини.

а) Намерете общата маса на компонентите $M_{\mathrm{tot}}$ . Обосновете внимателно разсъжденията си за формата на орбитата и физическите характеристики на двойната система. За звезди от главната последователност с $M \le 1\ \mathrm{M_\odot}$ връзката маса-радиус е $M \propto R^{5/4}$ . [8 т.]

Изследователят Християн Тодоров е на съвсем друга планета, някъде далеч от Слънчевата система. Както и за Чавдар, системата се проявява като спектрално двойна. И при двете компоненти е силен натриевият дублет (две спектрални линии на натрия с лабораторни дължини $\lambda_{01} = 589.00\ \mathrm{nm}$ и $\lambda_{02} = 589.59\ \mathrm{nm}$ ), поради което в тази област на спектъра на системата се наблюдават общо четири линии.

б) Оценете статистическата вероятност $p$ Християн да наблюдава системата като затъмнително двойна, но едновременно с това да не може да получи в никой момент спектър на системата, в който двете линии с най-малка дължина на вълната, измежду четирите линии, да идват от една и съща компонента. [7 т.]

Указание: Продължителността на минимумите се дефинира като времето между първи и последен контакт на дисковете. Дълбочината на минимумите се измерва спрямо звездната величина, която системата има точно преди първи контакт на дисковете. Не отчитайте ефекти, произтичащи от обмен на маса между компонентите.

Справочни данни:

Скорост на светлината	$c = 300\,000\ \mathrm{km/s}$
Гравитационна константа	$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}\,m^3\,s^{-2}}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 696\,000\ \mathrm{km}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$
Ефективна температура на Слънцето	$T_\odot = 5770\ \mathrm{K}$

Отговори

Решение

Решение:

а) Първо отбелязваме, че минимумите, съответстващи на едно и също физично разположение на компонентите, не са съседни, а са през един. Орбиталният период на системата тогава е $\tau = 2T = 8.84\ \mathrm{h}$ .

Да разсъждаваме върху елиптичната относителна орбита на едната компонента спрямо другата. Затъмненията са през точно половин период. Това означава, че апсидната линия на орбитата се разполага по зрителния лъч. Самите затъмнения имат еднаква продължителност, обаче скоростите в перицентър и апоцентър по орбитата са различни. Единствената възможност е относителната орбита да е кръгова.

Максималната закрита площ на задната компонента при затъмнение винаги е еднаква. По условие сумарният поток също спада еднакво при двата класа затъмнение, тоест компонентите имат равни температури. Означаваме с $S$ и $S_0$ излъчващите площи преди затъмнение и в минимум. Тогава

\Delta m = -2.5\lg\frac{S}{S_0} \quad\Rightarrow\quad \frac{S}{S_0} = \frac{1}{2}.

Когато по-малката компонента минава пред по-голямата, тя може да закрие площ, която е най-много нейната собствена. Това е по-малко или равно от половината от общата площ. Равенство може да се достигне само ако компонентите са точно равни по размер и затъмненията са централни. И така, двете звезди са напълно еднакви и орбитите са кръгови.

Прави впечатление, че затъмнението обхваща голяма част от орбиталния период. Това предполага, че компонентите са близо една до друга, при което трябва да работим с точната геометрия на системата. Ъгълът на завъртане в рамките на затъмнение е $2\alpha$ на чертежа, като

\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\Delta t}{\tau}, \quad \sin\alpha = \frac{R}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi\Delta t}{2T}\right)}R. \qquad (1)

Схема на затъмнителната двойна система: две двойки еднакви оранжеви кръга (компоненти 1 долу и 2 горе) по кръговата относителна орбита, вертикална ос към „наблюдател“ (стрелка надолу), пунктирани отсечки r и R и ъгъл α при центъра.

Отделно от това, общата форма на третия закон на Кеплер дава

\frac{(2r)^3}{(2T)^2} = \frac{G(2M)}{4\pi^2}.

Ползваме връзката маса-радиус и заместваме (1):

r^3 = \frac{T^2}{4\pi^2}GM_\odot\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^{5/4},

R = \left(\frac{GM_\odot}{R_\odot^{5/4}}\frac{T^2}{4\pi^2}\sin^3\left(\frac{\pi\Delta t}{2T}\right)\right)^{4/7}.

Пресмятаме $R = 581\,000\ \mathrm{km}$ и по връзката маса-радиус $M = 0.80\ \mathrm{M_\odot}$ . Общата маса е $M_{\mathrm{tot}} = \boxed{1.60\ \mathrm{M_\odot}.}$

б) Разстоянието между линиите на дублета е $\Delta\lambda = \lambda_{02} - \lambda_{01} = 0.59\ \mathrm{nm}$ . За да може четирите линии да се разделят две по две, трябва линиите от едната компонента да са отместени с повече от $\Delta\lambda$ спрямо тези на другата. Това се получава, когато относителната лъчевата скорост на едната компонента спрямо другата надвишава по модул

\Delta v \approx \frac{\Delta\lambda}{\lambda_{01}}c = 300\ \mathrm{km/s}.

Скоростта на едната компонента относно другата е $v = \frac{2\pi(2r)}{2T} = 345\ \mathrm{km/s}$ . Нека зрителният лъч на наблюдателя е наклонен на $i$ спрямо орбиталната равнина. Максималната относителна лъчева скорост тогава е $v\cos i$ . Щом наблюдателят не може никога да раздели линиите две по две, той наблюдава системата от такова $i$ , че $v\cos i < \Delta v$ . Граничният наклон тогава се задава с

\delta = \arccos\left(\frac{\frac{\Delta\lambda}{\lambda_{01}}c}{\frac{2\pi r}{T}}\right) = \arccos\left(\frac{\Delta\lambda c T}{2\pi\lambda_{01}R}\sin\left(\frac{\pi\Delta t}{2T}\right)\right) = 29.3^{\circ},

и диапазонът възможни ъгли е $i \in (29.3^{\circ};\ 90^{\circ})$ . Сега да намерим и критерий за наблюдаемост на затъмнения. Съгласно чертежа, наклонът трябва да бъде $i < \beta$ :

Два еднакви оранжеви кръга с центрове на пунктирана хоризонтала „орб. равнина“; наклонена пунктирана линия към „наблюдател“ (стрелка), допирателна към двата диска; означени r, R и ъгли β.

Видимо $\beta$ е еквивалентно на $\alpha$ от миналия чертеж. Граничният наклон за затъмнения съответно е $\beta = \frac{\pi\Delta t}{2T} = 41.7^{\circ}$ . Търсеният диапазон тогава става $i \in (29.3^{\circ};\ 41.7^{\circ})$ . Вероятността за попадане в него е дялът от пространството в този интервал. Намираме го с формулата за сферична шапка:

p = \frac{2\pi(1-\sin\delta) - 2\pi(1-\sin\beta)}{2\pi} = \sin\beta - \sin\delta = \boxed{0.18.}

Стефан Иванов

Критерии за оценяване (15 т.):

– За доказване, че орбитите са кръгови 1.5 т.

– За доказване, че компонентите са еднакви 1.5 т.

– За връзка между радиус на орбита и радиус на компонентите 1.5 т.

– За правилно приложен III закон на Кеплер (вкл. $2T$ , $2r$ , $2M$ ) 1.5 т.

– За използване на връзката маса-радиус и преобразования 1 т.

– За верен числен резултат 1 т.

– За намиране на орбиталната скорост 1 т.

– За намиране на нужната лъчева скорост за разместване на линиите 1 т.

– За граничния наклон по критерия за спектъра 1 т.

– За граничния наклон по критерия за затъмнения 2 т.

– За формулата за сферична шапка 1 т.

– За верен числен резултат 1 т.

Редакция на задачите

Редакция на задачите: Стефан Иванов, Захари Дончев

Оригинал в Архива: 23-IV-teorST.pdf · официални решения: a23-IV-teorST.pdf