Съдържание

НОА 2023, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Бавна звезда и бърз пулсар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

Министерство на образованието и науката — Комисия за провеждане на олимпиадата по астрономия — XXVI Национална олимпиада по астрономия — IV кръг, 14.07.2023 г., Варна, теоретичен тур — Старша възраст · 14 юли 2023 г. · 15 т.

Условие

Старателният спектроскопист Елена Йорданова следи звезда със значително собствено движение. Тя се отдалечава с хелиоцентрична лъчева скорост $v_r = 10\ \mathrm{m/s}$ . Преди една година лъчевата ѝ скорост е имала точно същата големина.

а) На какво разстояние $\Delta r$ ще се отдалечи звездата от Слънцето до следващата година? Не отчитайте гравитационните сили от околните тела върху звездата. [4 т.]

Съгласно общата теория на относителността, гравитацията от масивен обект отклонява пътя на светлината. За лъч светлина, преминаващ на минимално разстояние $r$ от тяло с маса $M$ , ъгълът на отклонение се задава с $\theta = \frac{4GM}{rc^2}$ (виж Фиг. 1). Ако наблюдателят, лещата и масивният обект са на една права, изображението на обекта представлява пръстен от светлина с радиус $\theta_\mathrm{E}$ , наричан радиус на Айнщайн.

б) Изразете $\theta_\mathrm{E}$ чрез разстоянията до лещата и обекта $d_\mathrm{L}, d_\mathrm{S}$ . [3 т.]

Ръчно начертана схема: лъч светлина (плътна крива), минаващ на разстояние r над точково тяло с маса M и отклоняващ се надолу; пунктирана хоризонтала през M; в синьо — продължение на първоначалната посока, ъгълът на отклонение и надпис θ = 4GM/rc². — Фигура 1

Радиоастрономът Стела Бинева наблюдава далечен пулсар с период $P = 1.5\ \mathrm{ms}$ , чиято пространствена скорост е незначителна. Колежката ѝ Елена забелязва, че нейната звезда днес преминава пред пулсара на Стела. Елена иска да получи повече информация за своя обект. Спомняйки си за лекциите от университета, тя моли Стела да направи измерване на масата на звездата, използвайки ефекта на гравитационната леща.

В конкретния случай се наблюдава т.нар. гравитационна микролеща. Радиусът на Айнщайн $\theta_\mathrm{E}$ е под разделителната способност, така че далечният обект отново бива наблюдаван като точка на небето, но пътят на светлината от него все пак се променя.

Много отпреди звездата да наближи пулсара по небето, Стела е започнала да записва моментите, в които импулсите се засичат от радиотелескопа. Тогава тя е измервала постоянен период между импулсите. Екстраполирайки от тогавашните наблюдения, тя би очаквала, че един от импулсите, получени днес, ще пристигне в момент $t_1$ . Поради влиянието на звездата обаче, той всъщност пристига в момент $t_2$ , със закъснение $\Delta t \equiv t_2 - t_1$ .

в) Покажете, че очакваното закъснение в момента на регистриране на сигнала е $\Delta t \approx \frac{2GM}{c^3}$ . Не отчитайте гравитационното забавяне на времето за сигналите от пулсара, а само геометричните ефекти. [4 т.]

С изненада Стела открила, че моментите, в които действително получава импулси, съвпадат с моментите, в които е предсказано, че ще бъдат получавани импулси, съгласно екстраполацията от началните наблюдения.

г) Каква е масата на звездата $M$ ? Обосновете своя отговор. [4 т.]

Указание: Лъчевата скорост на звездата е малка, поради което няма нужда тя да се отчита при пресмятанията след a). За малки ъгли $\alpha$ е изпълнено $\cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$ . За $|x| < 1$ и $|nx \ll 1|$ може да се използва биномното приближение,

(1 + x)^n \approx 1 + nx.

Справочни данни:

Скорост на светлината	$c = 300\,000\ \mathrm{km/s}$
Гравитационна константа	$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}\,m^3\,s^{-2}}$

Отговори

Решение

Решение:

а) При липса на сили върху звездата, траекторията ѝ ще е права линия. При това единствената геометрична постановка, при която търсеното може да се наблюдава, е когато звездата минава през най-близкото си до Слънцето положение. От едната му страна тя ще има положителна лъчева скорост $v_r$ , а от другата ще има отрицателна лъчева скорост със същата големина $-v_r$ .

Геометрия на движението на звездата: пунктирана права траектория, от долната точка (Слънцето) към нея са прекарани отсечки, перпендикулярът r и отсечки към положенията през интервали vT_E/2, vT_E/2 и vT_E; при положенията са показани векторите v и v_r (оранжеви) и ъгълът α.

Означаваме дължината на годината с $T_E$ , пространствената скорост на звездата с $v_r$ и минималното разстояние до звездата с $r$ . Разстоянията от Слънцето до звездата сега и след една година са съответно $\sqrt{r^2 + \left(\frac{vT_E}{2r}\right)^2}$ и $\sqrt{r^2 + \left(\frac{3vT_E}{2r}\right)^2}$ . Тъй като $vT_E \ll r$ , може да използваме биномното приближение, записвайки разстоянията като

r\left(1 + \frac{1}{2}\left(\frac{vT_E}{2r}\right)^2\right), \quad r\left(1 + \frac{1}{2}\left(\frac{3vT_E}{2r}\right)^2\right).

Разликата между тях представлява отдалечаването от Слънцето до следващата година, при което намираме $\Delta r = \frac{v^2T_E^2}{r}$ . Сега забелязваме от чертежа, че

\cos\alpha = \frac{v_r}{v} \approx \frac{vT_E/2}{r}.

Тогава $\Delta r = 2v_rT_E = \boxed{6.3 \times 10^8\ \mathrm{m}.}$

б) Съставяме чертеж, в който приемаме, че лъчът се пречупва „наведнъж” от тялото с маса $M$ .

Ръчно начертана схема на гравитационната леща: наблюдател Obs, тяло M на разстояние d_L, пулсар (pulsar) на разстояние d_S (скоба); лъчът от пулсара се пречупва над M под ъгъл θ; при наблюдателя е ъгълът θ_E; надписи d_LS и d_LS = d_S − d_L.

Използваме факта, че всички ъгли са малки. Това ни позволява да напишем

\theta_\mathrm{E} = \frac{r}{d_\mathrm{L}}, \quad d_\mathrm{S}\theta_\mathrm{E} = (d_\mathrm{S} - d_\mathrm{L})\,\theta.

Заместваме израза за $\theta$ от условието във второто уравнение и посредством първото намираме следната формула:

\boxed{\theta_\mathrm{E} = \left(\frac{4GM}{c^2}\frac{d_\mathrm{S} - d_\mathrm{L}}{d_\mathrm{S}d_\mathrm{L}}\right)^{1/2}.}

в) Отместването в момента на наблюдение е заради удължението на пътя при наличието на лещата. Пътят, който сигналът от пулсара изминава при липсата на лещата, е $s_0 = d_\mathrm{S}$ . За сметка на това, пътят при наличието на лещата е сумата от хипотенузите на двата правоъгълни триъгълника на чертежа. Нека бележим с $s_1$ и $s_2$ съответно лявата и дясната хипотенуза. За лявата хипотенуза съответно виждаме, че $\cos\theta_\mathrm{E} = d_\mathrm{L}/s_1$ . Тъй като ъгълът е малък, можем да ползваме биномно приближение, съответно

s_1 = \frac{d_\mathrm{L}}{\cos\theta_\mathrm{E}} \simeq \frac{d_\mathrm{L}}{1 - \theta_\mathrm{E}^2/2} \simeq d_\mathrm{L}\left(1 + \frac{\theta_\mathrm{E}^2}{2}\right).

За дясната хипотенуза ползваме Питагорова теорема, $s_2^2 = r^2 + d_\mathrm{LS}^2$ . Отново прилагаме биномно приближение и използваме факта, че $d_\mathrm{L} \ll d_\mathrm{S}$ :

s_2 = \left(d_\mathrm{LS}^2 + r^2\right)^{1/2} \simeq d_\mathrm{LS}\left(1 + \frac{r^2}{2d_\mathrm{LS}^2}\right) = d_\mathrm{LS}\left(1 + \frac{\theta_E^2d_\mathrm{L}^2}{2d_\mathrm{LS}^2}\right).

Накрая, пълният път при наличието на лещата се получава като

s = s_1 + s_2 = (d_\mathrm{L} + d_\mathrm{LS}) + \frac{d_L\theta_\mathrm{E}^2}{2}\left(1 + \frac{d_\mathrm{L}}{d_\mathrm{LS}}\right) = d_\mathrm{S} + \frac{\theta_E^2d_\mathrm{L}d_\mathrm{S}}{2d_\mathrm{LS}}.

Закъснението съответно се получава вследствие от удължаването на пътя и крайната скорост на светлината. Окончателният ни израз за закъснението е:

\Delta t = \frac{s - s_0}{c} = \frac{\theta_E^2d_\mathrm{L}d_\mathrm{S}}{2cd_\mathrm{LS}} = \frac{d_\mathrm{L}d_\mathrm{S}}{2d_\mathrm{LS}}\frac{4GM}{c^3}\frac{d_\mathrm{S} - d_\mathrm{L}}{d_\mathrm{S}d_\mathrm{L}} = \boxed{\frac{2GM}{c^3}.}

г) Ако импулсите пристигат в очакваните моменти, то изоставането заради лещата е всъщност цяло число периоди на пулсара, т.е. $\Delta t = nP,\ n \in \mathbb{N}$ . Пренареждаме формулата, за да получим израз за масата:

M = \frac{c^3P}{2G}n = 3.03 \times 10^{32}\ \mathrm{kg} \times n = 150\ \mathrm{M_\odot} \times n.

Дори и при $n = 1$ това е изключително висока маса, от порядъка на най-масивните открити звезди. За $n \ge 2$ вече е нереалистично да има такава звезда, така че като отговор оставяме $\boxed{150\ \mathrm{M_\odot}.}$

Стефан Иванов [a)] и Любомир Шойлев [б), в), г)]

Критерии за оценяване (15 т.):

– За правилна геометрична постановка 1 т.

– За изразяване на разстоянията с биномно приближение 1 т.

– За съотношение между скоростите и разстоянията 1 т.

– За верен числен резултат 1 т.

– За правилно построение на геометрията на лещата 1 т.

– За съобразяване на уравнението, свързващо $\theta$ и $\theta_\mathrm{E}$ 1 т.

– За правилно достигнат окончателен израз 1 т.

– За приближен израз за $s_1$ 1.5 т.

– За приближен израз за $s_2$ 1.5 т.

– За довършване на доказателството за $\Delta t$ 1 т.

– За съображението, че $\Delta t = nT$ 2 т.

– За астрофизично съображение относно масата и краен отговор 2 т.

Редакция на задачите

Редакция на задачите: Стефан Иванов, Захари Дончев

Оригинал в Архива: 23-IV-teorST.pdf · официални решения: a23-IV-teorST.pdf