НОА 2023, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. В куба

• а) 750

• б) 5250

• в) 10000 km

• г) 2.24 km

• д) 5.3 yr

  Бележка под линия в решението: с точната средна площ $S = \frac{4}{\pi}a^2$ периодът е 5.5 yr.

• е) $\Phi_{\max} = 1.94 \times 10^9\ \mathrm{W}$, $\Phi_{\min} = 1.12 \times 10^9\ \mathrm{W}$

• ж) 5.9 m

Решение:

а) Наблюденията са нощни, тоест за никой от наблюдателите Слънцето не е над видимия хоризонт. Във всеки момент Слънцето е под хоризонта за три стени, които споделят общ връх. Наблюдателите ще имат най-малко общи видими звезди, когато са разположени по един за всяка от тези стени. Тогава 1/8 от небесната сфера е над хоризонтите и за тримата (вж. чертежа). В резултат $N_1 = \frac{1}{8}N_0 = \boxed{750.}$

б) Най-много звезди се виждат от върховете на куба, където кубът скрива 1/8 от пространството за наблюдателя. Съответно $N_2 = \frac{7}{8}N_0 = \boxed{5250.}$

в) Ако впишем сфера в куба, става ясно, че хоризонтите за астрономите на куба са като хоризонтите от шест точки по Земята, всяка намираща се на $90^{\circ}$ от съседните си. На астрономи от съседни стени съответстват астролози на разстояние $L = \frac{\pi}{2}R = \boxed{10\,000\ \mathrm{km}.}$

г) За да виждат обект на еднаква ненулева височина, двамата трябва или да са на една стена, или да са на съседни стени, като източникът да лежи на равнината през общия им ръб, която разполовява ъгъла между стените. Вторият случай ще даде максималното разстояние. За да го намерим, нека да направим развивка на куба. Тогава максималното разстояние е по права между върховете в две съседни стени. Ако сгънем куба обратно, този факт няма да се промени. И така, отговорът е $l = \sqrt{5}a = \boxed{2.24\ \mathrm{km}.}$

д) Астероидът се върти с много по-малък период от орбиталния си. Съвместно с малкия му размер това означава, че температурата по повърхността му в даден момент е приблизително еднаква навсякъде. Промените в температурата всъщност идват от това, че орбитата на астероида има значителен ексцентрицитет $e$.

Астероидът приема излъчване с някаква ефективна площ $S$, която се явява средната площ, изложена към Слънцето с течение на едно околоосно въртене. Тъй като максималната изложена площ е $\sqrt{2}a^2$, а минималната е $a^2$, може да оценим$^1$ $S \approx \frac{1+\sqrt{2}}{2}a^2 \approx 1.21a^2$.

Означаваме голямата полуос на орбитата с $r_0$ и използваме баланс между получена и преизлъчена енергия при албедо нула, съответно при афелий и перихелий:

След разделяне на двата израза получаваме за ексцентрицитета

Сега се връщаме върху едно от уравненията за баланса и със закона на Стефан-Болцман намираме

От третия закон на Кеплер следва $T = \boxed{5.3\ \mathrm{yr}.}$

$^1$Точната стойност, която се получава с интегриране, е $S = \frac{4}{\pi}a^2 \approx 1.27a^2$. Периодът тогава ще бъде 5.5 yr.

е) Минимален поток се получава, когато кубът е обърнат към Слънцето само с една стена. Тогава той е $\Phi_{\min} = \frac{L_\odot}{4\pi r^2}a^2 = \boxed{1.12 \times 10^9\ \mathrm{W}.}$

Максимален поток се получава, когато един от телесните диагонали на куба е ориентиран към Слънцето. Трябва да намерим каква ефективна площ е изложена към Слънцето в тази ситуация. Съгласно симетрията, всеки от ръбовете на куба ще има еднаква дължина след проектиране перпендикулярно на телесния диагонал. Затова проекцията на куба, гледано от Слънцето, непременно трябва да има формата на правилен шестоъгълник. Да намерим дължината на ръба $b$ за този шестоъгълник. От подобните триъгълници на чертежа имаме $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}$, тоест $b = \sqrt{\frac{2}{3}}a$.

Лицето на шестоъгълника е сбор от лицата на шест равностранни триъгълника със страна $b$. Лицето на всеки триъгълник е $\frac{1}{2}b^2\sin 60^{\circ}$, така че това на шестоъгълника е $\sqrt{3}a^2$. Максималният поток тогава е $\Phi_{\max} = \frac{L_\odot}{4\pi r^2}\sqrt{3}a^2 = \boxed{1.94 \times 10^9\ \mathrm{W}.}$

Допълнение: В това решение ние не доказахме, че разглежданите случаи са наистина оптимални. Доказателството не се изисква от участниците, но може да бъде направено с елементарна математика. Разполагаме ръбовете на куба успоредно на декартовите оси $x$, $y$ и $z$. Въвеждаме сферични полярни координати, където полярният ъгъл $\theta$ се отчита от оста $z$, а азимуталният ъгъл $\varphi$ се отчита от оста $x$. Нека слънчевата светлина идва от направление $(\theta, \varphi)$, като без ограничение избираме $\theta \in [0^{\circ}; 90^{\circ}]$ и $\varphi \in [0^{\circ}; 90^{\circ}]$. Единичният вектор на това направление се задава в декартови координати с $(\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$. Нормалите на трите стени, върху които пада слънчева светлина, същевременно са $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1)$. Проектираната площ на всяка стена тогава ще се определя като $a^2$, умножено със скаларното произведение на нормалата ѝ и вектора на слънчевата светлина. Така общата проектирана площ на куба за дадено $(\theta, \varphi)$ е

Започваме с минимизацията на $S$. Първо фиксираме $\theta$ и търсим $\varphi$, при което $S$ е най-малко. Това означава да намерим $\varphi$, при което $\sin\varphi + \cos\varphi$ е минимално. Същият израз е $\sqrt{2}(\sin\varphi\cos 45^{\circ} + \cos\varphi\sin 45^{\circ}) = \sqrt{2}\sin(\varphi + 45^{\circ})$. Минимумът е при $\varphi = 0^{\circ}$ или $\varphi = 90^{\circ}$. Тогава $S = a^2(\sin\theta + \cos\theta)$, което се минимизира спрямо $\theta$ по същата процедура. Най-малката стойност е $a^2$; тя се постига при $\theta = 0^{\circ}$ или $\theta = 90^{\circ}$. Тази геометрия съответства на случай, в който към Слънцето е изложена само една стена.

Максимизацията е подобна. Максимумът за фиксирано $\theta$ ще се постигне при $\varphi = 45^{\circ}$. Тогава $S = a^2(\sqrt{2}\sin\theta + \cos\theta)$. За да намерим оптималното $\theta$, полагаме $\sqrt{2} \equiv \tan\alpha$, при което $S = \frac{a^2}{\cos\alpha}(\sin\alpha\sin\theta + \cos\alpha\cos\theta) = \frac{a^2}{\cos\alpha}\cos(\theta - \alpha)$. Изразът е най-голям при $\theta = \alpha$. И щом $\tan\alpha = \sqrt{2}$, то $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Максималното $S$ съответно е $\sqrt{3}a^2$. Може да се провери, че намереното $\theta$ съответства на това да гледаме куба по телесния диагонал. $\square$

ж) Да означим гравитационната потенциална енергия (ГПЕ) на гаечния ключ във върха на куба с $V$. По дефиницията за втората космическа скорост $v'$ е вярно

Първо трябва да намерим скоростта $v_0$, с която гаечният ключ пада върху технѝка в центъра на куба. За да направим това, ще изразим ГПЕ $V'$ в центъра спрямо $V$. Да разложим куба на 8 кубчета с ръб $a/2$. Тъй като потенциалните енергии от взаимодействието с различни маси се събират алгебрично, може да заключим че $V' = 8V''$, където $V''$ е потенциалната енергия във върха на кубче с ръб $a/2$. Потенциалната енергия на повърхността на обект с маса $\mu$ и радиус $a$ има вида $\sim \frac{Gm\mu}{a}$. Ако плътността на обекта е $\rho$, то ГПЕ има вида $\sim G\mu\rho a^2$. От тази пропорционалност следва, че $V'' = \frac{1}{4}V$, откъдето $V' = 2V$. Сега прилагаме закон за запазване на енергията за изпуснатия гаечен ключ:

Сега от (2) и (3) следва, че $v_0 = v'$. Ударът на гаечния ключ с техника ще е абсолютно нееластичен. Скоростта $u_0$, с която техникът стартира движението си след удара, тогава може да бъде определена със закона за запазване на импулса,

Да изследваме по-нататъшното движение. Използваме координатна система с начало в центъра на куба и оси $x$, $y$, $z$, които са успоредни на ръбовете. Търсим гравитационната сила, която действа на техника, когато бъде отместен по оста $x$ на малко разстояние $\Delta x$ от координатното начало. Масата, която го привлича, тогава се явява наслагване (суперпозиция) на куб с ръб $a$ и техника в центъра му, и две квадратни плочи с дебелина $\Delta x$ и ръб $a$, едната с плътност $\rho$, другата с плътност $-\rho$. Съгласно симетрията, кубът не му оказва сила, но всяка от плочите ще поражда сила върху техника, насочена към координатното начало.

Ще намерим силата от плочата $\rho$. Нека вземем малък елемент от плочата с площ $\Delta S$, който е отклонен на $\theta$ от оста $x$, гледано от техника, намирайки се на разстояние $r$ от него. Силата по $x$, която елементът поражда, се задава с

Забелязваме, че $\frac{\Delta S}{r^2}\cos\theta$ всъщност се явява пространственият ъгъл $\Delta\Omega$, който елементът обхваща. Повтаряйки това разсъждение за всеки елемент от плочата поотделно, общата сила по $x$ от плочата ще е $G(M + m)\rho\Delta x\Omega$, където $\Omega$ е общият пространствен ъгъл, който тя обхваща за техника. Той е 1/6 от пространството, тоест $\Omega = \frac{2}{3}\pi$. Втората плоча създава същата по големина и посока сила. Общата сила по $x$ от двете тогава е $\frac{4}{3}\pi G(M + m)\rho\Delta x$.

Сега същото разсъждение може да бъде повторено за отместване по $y$ и за отместване по $x$. Събирайки векторно силите по трите оси, се оказва, че ако отместим техника с произволно малко разстояние $\vec{r}$ от центъра на куба, той ще изпитва връщаща сила $\vec{F} = -\frac{4}{3}\pi G(M + m)\rho\vec{r}$. Това представлява квазиеластична сила с константа на еластичност $K \equiv \frac{4}{3}\pi G(M + m)\rho$. Тогава движението на техника представлява хармонична осцилация около равновесно положение в центъра на куба. При отместване $s$ от центъра потенциалната енергия на такова движение се изразява с $\frac{1}{2}Ks^2$. И така, за да намерим $s$, остава да приложим закона за запазване на енергията:

Стефан Иванов

– За наблюдатели по три съседни стени 0.5 т.

– За верен числен резултат 0.5 т.

– За наблюдател във връх на куба 0.5 т.

– За верен числен резултат 0.5 т.

– За наблюдатели на $90^{\circ}$ по Земята 0.5 т.

– За верен числен резултат 0.5 т.

– За развивка на куба 1 т.

– За положение на наблюдателите 0.5 т.

– За верен числен резултат 0.5 т.

– За оценка на ефективната проектирана площ на куба 0.5 т.

– За правилно записан топлинен баланс 1 т.

– За изразяване на ексцентрицитета 0.5 т.

– За намиране на голямата полуос 0.5 т.

– За верен резултат за периода 0.5 т.

– За верен отговор за минималния поток 0.5 т.

– За разбиране на ситуацията с максимален поток 0.5 т.

– За намиране на размерите на шестоъгълника 0.5 т.

– За верен отговор за максималния поток 0.5 т.

– За доказателство на оптималните случаи доп. 1 т.

– За качествено разбиране, че се търси връзка между гравитационни потенциали 1 т.

– За намиране на скоростта на гаечния ключ в центъра 1 т.

– За намиране на началната скорост след удара 0.5 т.

– За идея за суперпозиция на маси 0.5 т.

– За намиране на гравитационната сила от плоча 1 т.

– За верен числен резултат 1 т.