НОА 2023, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Staralt

• А) φ = +38.3°, λ = 87.3° E

  Измерено по графиката; истинската дължина е 87.7° E, а разликата идва от уравнението на времето. Допустимо отклонение около ±1°.

• Б) звезда 1: α = 15 h 34 m, δ = +26.7°; звезда 2: α = 11 h 04 m, δ = +61.7°

  Истинските звезди са Алфека (α CrB) и Дубхе (α UMa). Допустимо отклонение около ±10 m по ректасцензия и ±1° по деклинация.

• В) 5 май

  Пълнолунието преди наблюдението е било около 6 април; следващото е един синодичен месец по-късно. Допустимо отклонение ±1 ден.

• Г) 30 юни

  Първо приближение – 19 юни; отчитайки, че Слънцето изгрява все по-рано през пролетта, датата е още около 11 дни по-късно. Допустимо отклонение няколко дни.

• Д) $r = \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2 \cos\theta} = 31.5\ \text{pc}$

  r₁ = 23.0 pc, r₂ = 37.7 pc, θ = c = 56.4°.

Решение:

а) + б) Измерваме, че моментът по средата между залез и изгрев е в 18:11 UT. Това е долната кулминация на Слънцето, която на Гринуичкия меридиан се случва средно в 00:00 UT, т.е. 5 h 49 m = 5.817 h по-късно. За това време Земята ще се завърти спрямо Слънцето с ъгъл (15°/h)(5.817h) = 87.3°. Географската дължина е 87.3° E. Истинската стойност е 87.7° E, а разликата идва от уравнението на времето, което не е точно 0.

Двете звезди имат близка максимална височина, но звезда 2 променя височината си много по-плавно. От тук можем да заключим, че тя кулминира на север и има много по-голяма деклинация от звезда 1. След като кулминира на север, векторът на ъгловата ѝ скорост по небето се завърта на 360° спрямо хоризонта (което не е валидно за звездите, кулминиращи на юг за северното полукълбо). Следователно ще има момент, в който ъгловата ѝ скорост по денонощния паралел ще бъде право надолу и ще бъде равна на темпът на промяна на височината. Измерваме екстремалния темп на промяна на височината там, където наклонът на кривата ѝ е максимален – някъде около 20-21 UT той достига -7.1°/h (измерено по допирателна към кривата на графиката). Ъгловата скорост по паралела е

Получаваме деклинация $\delta_2 = +61.7°$.

Измерваме по графиката височината на звезда 2 в горна кулминация $h_2 = 67.0°$. За звезда, кулминираща на север за северна ширина, максималната височина е

Заместваме и получаваме географската ширина на мястото на наблюдението, $\varphi = +38.3°$.

За звезда 1, която кулминира на юг на височина $h_1 = 78.4°$ (измерено по графиката),

Заместваме и получаваме деклинация $\delta_1 = +26.7°$.

Датата 10 април е 20 дни след пролетно равноденствие и ректасцензията на Слънцето е около 20° = 1.333 h. За да намерим ректасцензиите на звездите, трябва да изчислим звездните времена в моментите на горна кулминация – 20:25 UT за звезда 1 и 15:55 UT за звезда 2. Слънцето кулминира средно в 12 UT на Гринуич. В дадената нощ на даденото място Слънцето е в долна кулминация в 18:11, т.е. е в горна кулминация в 06:11 UT. Кулминацията на звезда 1 е 14 h 14 m по-късно, а на звезда 2 е 9 h 44 m по-късно. Добавяме тези времена към ректасцензията на Слънцето, 1 h 20 m, и получаваме 15 h 34 m и 11 h 04 m. Истинските звезди са Алфека и Дубхе.

в) Луната кулминира в 22:05 UT, около 15.9 h след Слънцето. Съвсем приблизително, ъгловото разстояние Слънце-Луна е равно на разликата в ректасцензиите им, около (15.9/24)(360°) = 238.5°. Луната прави оборот по небето спрямо Слънцето за Т = 29.53 d (синодичен месец), т.е. „възрастта” ѝ (времето след новолуние) е (238.5°/360°)(29.5 d) = 19.6 d, докато възрастта при пълнолуние е средно Т/2 =14.8d. Пълнолунието е било преди около 4 дни, на 6 април, и следващото ще бъде на 5 май.

г) Изгревът на звезда 1 е в 12:56 UT, а горната кулминация – в 20:25 UT. Залезът трябва да е симетрично, през деня, в 03:54 UT. Изгревът на Слънцето е в 23:35 UT, т.е. 4.6h по-рано.

Към задачата може да се подходи итеративно – звездата ще залезе 4.6 h по-рано след (4.6/24)(365.25 d) = 70 дни по-късно, т.е. на 19 юни. Но Слънцето изгрява все по-рано през пролетта, така че търсената дата е малко след 19 юни. В действителност закъснението на изгрева за тази географска ширина се забавя с около 1 час за тези 70 дни и търсената дата е още 11 дни по-късно – на 30 юни.

д) От паралаксите намираме реципрочно разстоянията: $r_1$ = 23.0 pc, $r_2$ = 37.7 pc. Построяваме сферичен триъгълник с точки AB в звездите и точка C в северния небесен полюс. При стандартни означения, за този триъгълник

Прилагаме сферичната косинусова теорема и получаваме c=56.4°, което е ъгловото разстояние θ между галактиките. По планиметричната косинусова теорема намираме разстоянието между тях в космоса:

Александър Куртенков