НОА 2024, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 2. МКС

• А) $P = 2\pi\sqrt{\dfrac{(R+h)^3}{GM}} \approx 92\ \text{min}$

• Б) $\varphi_{MAX} = \varepsilon + \beta,\quad \cos\beta = \dfrac{R}{R+h},\quad \beta \approx 19.8^\circ,\quad \varphi_{MAX} \approx 71^\circ$

• В) $\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{T_{\text{ЗВ}}} - \dfrac{1}{P},\quad T \approx 99\ \text{min}$

  Синодичен (спрямо въртящата се Земя) интервал. В оригинала равенството е отпечатано като $1/T = 1/T_{\text{ЗВ}} - 1/P$ вместо $1/T = 1/P - 1/T_{\text{ЗВ}}$; стойността е дадена по модул.

Решение:

А) Нека да означим радиуса на Земята с $R = 6\,378\ \text{km}$, височината на МКС над земната повърхност с $h$, а търсения период с $P$. Ако $M = 6.10^{24}\ \text{kg}$ е масата на Земята, то съгласно III закон на Кеплер:

Следователно:

Б) Означаваме с $\varepsilon$ наклона на орбитата на МКС относно екватора на Земята. Нека да разгледаме положението на станцията, когато тя се намира в най-отдалечената от екваториалната равнина точка от своята орбита. В този момент, тя се намира точно на математическия хоризонт за наблюдател с географска ширина, която е с ъгъл $\beta$ по-голяма от $\varepsilon$.

Използвайки чертежа, можем да запишем следното равенство:

Отук намираме, че: $\beta \approx 19.8^0$.

Следователно, максималната географска ширина, от която МКС може да се наблюдава, е $\varphi_{MAX} = \varepsilon + \beta \approx 71^0$.

В) Нека с $T_{\text{ЗВ}} = 23^h\,56^m\,4^s$ да означим продължителността на звездното денонощие.

Тъй като МКС се движи по своята орбита в същата посока, в която Земята се върти около оста си, то за търсения интервал от време $T$, можем да запишем:

Откъдето:

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За правилен метод за намиране на орбиталния период на МКС – 2т.

За правилен числен отговор – 1т.

За правилна геометрична постановка – 2т.

За правилни математически преобразувания и краен числен отговор – 2т.

За правилен метод, по който се намира търсеният интервал от време – 2т.

За правилен числен отговор – 1т.