НОА 2024, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 3. Квадратът на Пегас

• Най-кратък е вариант II: Маркаб-Шеат-Алгениб-Сирах-Маркаб (или в обратна посока Маркаб-Сирах-Алгениб-Шеат-Маркаб) – общо 994,25 ly, срещу 1 079,02 ly за обиколката по контура на видимия квадрат и 1 249,46 ly за третия вариант.

  Числените стойности зависят от приетите разстояния до звездите (тук 97, 199, 140 и 333 ly за Сирах, Шеат, Маркаб и Алгениб); оценява се методът и коректността на пресмятанията с намерените от ученика данни.

Решение:

Първо намираме информация за разстоянията от нас до четирите звезди:

Ако са ни известни разстоянията $r_1$ и $r_2$ от Слънцето до две звезди и видимото ъглово разстояние $\psi$ между звездите, то ние можем да намерим линейното разстояние $d$ между двете звезди. Използваме косинусовата теорема:

Така определяме разстоянията между всеки две звезди от квадрата на Пегас в светлинни години:

Възможни са следните варианти за обиколка на четирите звезди:

Пресмятанията ни убеждават, че вариант I, който представлява обиколка по контура на квадрата от звезди, така както го виждаме от Земята, не е най-краткият път. За да се намери той, трябва да отчетем разположението на звездите в тримерното пространство. Най-кратък път ще бъде изминат при осъществяване обиколката според вариант II.

Забележка: Възможно е участниците в олимпиадата да намерят различни данни за разстоянията от Слънцето до звездите в различни източници и да получат числени резултати, различаващи се от приведените тук. Следва да се оценява методът на разсъждения и правилността на изчисленията с намерените от учениците данни.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За намиране на информация за разстоянията до звездите – 2 т.

За общ математически метод за пресмятане на разстоянията между двойките звезди – 1 т.

За числени пресмятания на разстоянията – 3 т.

За пресмятания на общия път по всички варианти – 3 т.

За избор на най-краткия вариант – 1 т.