НОА 2024, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Пасажи и петна

• А) $X = \left(\frac{\delta_В}{\delta_{СЛ}}\right)^{2}\!.100\% \approx 0{,}1\%$

• Б) $\delta_S = \sqrt{\frac{X.T^{4}}{T^{4}-T_S^{4}}}\,\delta_{СЛ} \approx 76''$ ≈ $55300$ km

  Ъгловият диаметър на петното е около $76''$, а линейният му размер $D = r_1.\delta_S[\mathrm{rad}] \approx 55\,300$ km.

• В) Не. Видимият ъглов размер на петното ($\approx 76''$) е по-малък от разделителната способност на човешкото око ($2'$).

А) Нека с R да означим радиуса на Венера, а с $r_1$ и $r_2$ орбиталните радиуси, съответно на Земята и на Венера.

Когато Венера преминава пред диска на Слънцето, тя се намира точно между Земята и Слънцето. Тогава разстоянието между Венера и Земята е:

Видимият ъглов размер на Венера в тази конфигурация е:

Видимият ъглов диаметър на Слънцето е:

Осветеността, която Слънцето създава върху Земята ще намалее с толкова процента, с колкото намалява неговата видима излъчваща площ, защото дискът на Венера, който се наблюдава от Земята по време на пасажа е изцяло тъмен.

Следователно, частта, с която осветеността ще намалее е:

Б) Нека да означим с $T_S$ температурата на петната, а с T – обичайната фотосферна температура на Слънцето.

За осветеността $E_0$, която Слънцето създава, когато върху повърхността му няма петна, можем да запишем:

Ако по слънчевия диск се е появило кръгло петно с видим ъглов диаметър $\delta_S$, то за създаваната осветеност E е в сила:

Понеже осветеността при появата на това петно, осветеността трябва да намалее с част X, то в сила е следното равенство:

От тук получаваме, че:

Линейният размер на петното е:

В) Видимият ъглов размер на петното е по-малък от разделителната способност на човешкото око. Това означава, че то няма да може да се види с невъоръжено око.

Критерии за оценяване (общо – 12т):

А) – 5т

• За намиране на ъгловите размери на Слънцето и Венера – 1т.
• За съобразяване, че осветеността ще намалее толкова пъти, колкото пъти намалява видимата ъглова площ на Слънцето и правилен математически израз – 3т
• За правилен краен буквен израз и краен числен резултат – 1т.

Б) – 6т.

• За правилно математическо изразяване на осветеността, която Слънцето създава когато върху диска му няма петно – 1т.
• За правилно изразяване на осветеността, която Слънцето създава когато върху диска му има петно – 2т.
• За правилни преобразувания, с помощта на които се намира видимият ъглов или линейният размер на петното и краен буквен израз – 2т.
• За верен числен резултат – 1т.

В) – 1т.

• За верен извод, че петното няма да се вижда с невъоръжено око – 1т.