Съдържание

НОА 2024, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 1. Черни дупки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия 2024, областен кръг, възрастова група VII-VIII клас · 25 февруари 2024 г. · 12 т.

Условие

За да се превърне едно тяло с маса M в черна дупка, цялата му маса трябва да бъде събрана в сфера с радиус, който се нарича радиус на Шварцшилд. Той се пресмята по формулата:

R_S = \frac{2GM}{c^2}

където $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ $\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$ е гравитационната константа, а $c = 3 \cdot 10^{8}$ m/s е скоростта на светлината.

Справочни данни:

Маса на Земята – $6 \cdot 10^{24}$ kg
Маса на Слънцето – $2 \cdot 10^{30}$ kg
Астрономическа единица – $149{,}6 \cdot 10^{6}$ km
Светлинна година – $9{,}46 \cdot 10^{12}$ km.

А Пресметнете радиуса на Шварцшилд за човек с маса 80 kg. Намерете отношението на този радиус към радиуса на електрона, който е $1{,}4 \cdot 10^{-15}$ m. [2 т.]

Б Пресметнете радиуса на Шварцшилд за планетата Земя. Сравнете го по размер с някакъв познат и привичен за вас предмет или обект. [2 т.]

В Пресметнете радиуса на Шварцшилд за нашата галактика Млечен път, чиято маса е $10^{12}$ пъти по-голяма от масата на Слънцето. Изразете този радиус в километри, в астрономически единици и в светлинни години. [5 т.]

Г Намерете масата (в единици слънчеви маси) на черната дупка, която се намира в центъра на нашата галактика Млечен път. Нейният радиус е 12 милиона километра. [3 т.]

Отговори

Решение

Решение:

А) Нека да означим масата на човека с m. Съгласно дадената ни в условието формула, радиусът на Шварцшилд, който съответства на тази маса е:

R_S = \frac{2Gm}{c^2} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-25}\ \mathrm{m}

Този радиус е около $10^{10}$ пъти по-малък от дадения ни размер на електрона. Явно не е лесно да направим черна дупка от човек 🙂.

Б) Аналогично, ако $M_{\text{З}}$ e масата на Земята, то нейния радиус на Шварцшилд е:

R_S = \frac{2GM_{\text{З}}}{c^2} \approx 9 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}

Виждаме, че за да превърнем Земята в черна дупка трябва да я свием до радиус 9 mm. Това е сравнимо с някои малки предмети, с които се срещаме в нашия всекидневен живот, например: топче за игра (топче от мишка 🙂), орех, капачка от бутилка и т.н.

В) Нека с $M_{MW}$ да означима масата на Млечния път. Първо пресмятаме масата на нашата Галактика в килограми:

M_{MW} = 10^{12} \cdot M_{\text{СЛ}} = 2 \cdot 10^{42}\ \mathrm{kg}.

От тук, изрязаваме, че радиусът, до който трябва да свием Млечния път, за да се превърне той в черна дупка е:

R_S = \frac{2GM_{MW}}{c^2} \approx 3 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m} = 3 \cdot 10^{12}\ \mathrm{km}

Използвайки, получената стойност, намираме, че:

R_S[\mathrm{au}] = \frac{3 \cdot 10^{12}\ \mathrm{km}}{149{,}6 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}} \approx 2 \cdot 10^{4}

Също така:

R_S[\mathrm{ly}] = \frac{3 \cdot 10^{12}\ \mathrm{km}}{9{,}46 \cdot 10^{12}\ \mathrm{km}} \approx 0{,}31

Г) Нека с R да означим радиуса на черната дупка в центъра на Млечния път. Ако търсената маса е М, то:

R = \frac{2GM}{c^2}

От тук получаваме:

M = \frac{Rc^2}{2G} \approx 8{,}1 \cdot 10^{36}\ \mathrm{kg}

Превръщайки тази маса в маси на Слънцето, се получава:

M \approx 4{,}05 \cdot 10^{6}\ M_{\text{СЛ}}

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

A) – 2т

За правилен израз за радиуса на Шварцшилд и вярно получена числена стойност – 1т.
За вярно сравнение на този радиус с размера на електрона – 1т.

Б) – 2т

За правилен израз за радиуса на Шварцшилд на Земята и вярно получена числена стойност – 1т
За сравнение с някакъв обект от всекидневието – 1т.

В) – 5т

За превръщане на масата на Млечния път в килограми – 1т.
За правилен израз за радиуса на Шварцшилд и вярно получена стойност в метри и километри – 2т.
За превръщане на получения радиус в астрономически единици – 1т.
За превръщане на получения радиус в светлинни години – 1т.

Г) – 3т.

За правилен израз за масата на черната дупка и вярно получена стойност – 2т.
За правилно превръщане в слънчеви маса – 1т.

Оригинал в Архива: 24-II-78.pdf · официални решения: a24-II-78.pdf