НОА 2024, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Полярна орбита

• А $T_{sat} = \frac{1}{16}T_{sid} = 1^h29^m45^s.26,\qquad h = a - R \approx 280\ \text{km}$

  Звездното денонощие е $T_{sid} = 23^h56^m04^s.1$; орбиталният период е $T_{sat} = 1.4959045$ h $= 1^h29^m45^s.26$; радиусът на орбитата е $a \approx 6649.312$ km, а височината $h = 279.312$ km $\approx 280$ km.

• Б 3.75 °

  Ако спътникът се движи на север: $\alpha_1 = \frac{1}{96}\cdot 360^\circ = 3^\circ.75$. Ако се движи на юг: $\alpha_2 = \frac{5}{96}\cdot 360^\circ = 18^\circ.75$.

Решение: Когато спътник се движи в орбита около Земята, той запазва равнината на своята орбита независимо от това как се върти Земята около своята ос и как се движи около Слънцето по своята орбита. Равнината на полярната орбита е перпендикулярна на равнината на екватора, при което спътникът прелита над полюсите на планетата. Щом след 16 обиколки спътникът отново прелита над точка А, то следователно след 16 обиколки Земята е извършила точно един оборот около оста си. Един оборот на Земята е равен точно на едно звездно денонощие. Продължителността на едно звездно денонощие $T_{sid}$ можем да получим от броя на слънчевите денонощия в една година $T = 365^d\!.25$, и от броя на часовете в едно слънчево денонощие $T_{sol}$:

Нека изразим всички величини в часове. Получаваме:

Продължителността $T_{sat}$ на една обиколка на спътника около Земята е равна на една шестнайсета част от звездното денонощие:

В действителност съществуват огромен брой формални решения за орбити, отговарящи на поставеното условие. Те са кратни на полученото решение и са от вида

където N е нечетно цяло положително число. При това броят на завъртанията на Земята около своята ос е по-голям от единица. Количеството на орбитите е ограничено поради увеличаването на радиусите на орбитите с нарастване на N, при което спътникът е все по-далеч от Земята и на определено разстояние престава да се движи около нея, а се превръща в спътник на Слънцето. ( Тук влиянието на Луната не се разглежда).

Щом се търси височината на орбитата, то се предполага, че орбитата е кръгова. За да определим височината на орбитата ще използваме третия закон на Кеплер:

Където $a$ е радиусът на орбитата на спътника, $G$ е гравитационната константа, а $M$ е масата на Земята. След преобразования получаваме:

Височината $h$ на орбитата е:

Където R е радиусът на Земята.

Ако спътникът се движи на север, при прелитането си над точка А, то той ще измине 30° от своята орбита, гледано от центъра на Земята, докато достигне точката над Северния полюс, след което – още 30° до пресичането на същия паралел на 60° северна ширина. Тогава той ще е изминал 60° от 360° на своята орбита, т.е. 1/6 от орбитата си. Времето за което това ще се случи е равно на 1/6 от периода на спътника и следователно на 1/96 от звездното денонощие в продължение на което Земята се завърта на 360°. Ъгълът $\alpha_1$ на който ще се завърти Земята за това време е:

Ако спътникът се движи на юг, то той първо ще прелети над екватора, после над Южния полюс, после отново над екватора, след което ще достигне 60° северен паралел. Това са 5/6 от орбитата на спътника и времето за което той ще измине такава част от орбитата си, ще бъде 5/6 от периода на спътника и следователно 5/96 от звездното денонощие. Ъгълът $\alpha_2$ на който ще се завърти Земята за това време е:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За съобразяване, че спътникът запазва равнината на орбитата си, независимо от въртенето на Земята – 2т.

За правилни разсъждения и пресмятане на звездното денонощие – 2т.

За правилни разсъждения и пресмятане на периода на спътника – 1т.

За правилно прилагане на Закона на Кеплер или формулата за Първа космическа скорост – 2т.

За правилно пресмятане на радиуса на орбитата на спътника – 1т.

За правилно пресмятане на височината на орбитата – 1т.

За правилно определяне на ъгъла на който ще се завърти Земята 2×1.5т – 3т.