Съдържание

НОА 2024, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Ross 248

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия 2024, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 25 февруари 2024 г. · 12 т.

Условие

4 задача. Ross 248. Звездата Ross 248 е червено джудже от спектрален клас M6 с маса 0,145 слънчеви маси, радиус 0,19 слънчеви радиуса, температура на повърхността 2930 K, видима звездна величина $12^m\!,3$ и се намира на разстояние 10,3 светлинни години от нас. Ross 248 се приближава към нас и ще бъде максимално близо след 36 000 години, като ще прелети на разстояние 3,0 светлинни години от Слънцето. Приемете, че за това време Ross 248 ще се движи по права линия спрямо Слънцето.

Скоростта на светлината е $3.10^8$ m/s.

А Пресметнете средната плътност на Ross 248 като знаете, че средната плътност на Слънцето е 1,4 g/cm $^3$ . [4 т.]

Б Колко пъти по-ярък ще бъде видимият блясък на звездата Ross 248 след 36 000 години, в сравнение със нейния сегашен видим блясък? Ще може ли тогава звездата да се наблюдава с невъоръжено око? [4 т.]

В С каква скорост се движи Ross 248 спрямо Слънцето? А с каква скорост се приближава към Слънцето (абсолютна стойност на лъчевата скорост)? [4 т.]

Отговори

Решение

Решение:

А) Средната плътност на звезда с радиус R и маса M е

\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3}

Сравняваме със Слънцето, разделяме почленно и получаваме

\frac{\rho}{\rho_\odot} = \frac{M/M_\odot}{\left(R/R_\odot\right)^3} = \frac{0{,}145}{0{,}19^3}

Получаваме $\rho = 29{,}6$ g/cm $^3$ . (4т.)

Б) Възприеманата яркост зависи от лъчистия поток $\Phi$ . Зависимостта на потока от разстоянието до източника е

\Phi \propto 1/r^2

Сравнявайки звездата на разстояние 3, 0 ly със същата звезда на разстояние 10,3 ly, отношението на потоците ще бъде $(10{,}3/3{,}0)^2 = 11{,}8$ .

Една звездна величина по-малко съответства на около 2,512 пъти по-голям поток. Тъй като $11{,}8 < 2{,}512^3$ , звездата няма да е станала повече от 3 звездни величини по-ярка, когато е най-близо, т.е. звездната ѝ величина ще бъде над 9,3. Тя няма да се вижда с просто око, тъй като видимите с просто око звезди са по-ярки от звездна величина 6,0. (4т.)

В) На чертежа е показано преместването на Ross 248 от настоящия момент (в т. A) до достигане на минималното разстояние до Слънцето S в т. B. Изминатия път пресмятаме по Питагорова теорема:

l = AB = \sqrt{SA^2 - SB^2} = 9{,}85\ \text{ly}

Този път звездата ще измине в хелиоцентрична отправна система за време t = 36 000 yr, следователно скоростта спрямо Слънцето е v = l/t = 82,1 km/s.

Тъй като триъгълникът от скоростите на чертежа е подобен на триъгълник SAB, можем да напишем отношението

\frac{|v_R|}{v} = \frac{AB}{SA}

Триъгълник SAB с върхове Слънцето S, настоящото положение A и най-близкото положение B; при A е построен малък правоъгълен триъгълник от векторите v и vR. — Чертеж към задача 4В: преместването на Ross 248 от т. A до т. B – точката на минималното разстояние до Слънцето S, и триъгълникът на скоростите v и vR.

Пресмятаме и получаваме, че скоростта на приближаване на звездата е 78,5 km/s (т.е. лъчевата скорост е $v_R$ = –78,5 km/s). (4т.)

Оригинал в Архива: 24-II-910.pdf · официални решения: a24-II-910.pdf