НОА 2024, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Гигантски динозавър

• А 23.1 h

  Темпът на нарастване е между 0.0062 и 0.0063 части от часа за милион години. Точките по критериите: 4 т. за обосноваване на постоянния темп + 3 т. за продължителността преди 150 милиона години.

• Б $\Delta t = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 23.1\ \text{часа} \approx 30\ \text{s}$

  $\alpha = \arccos\!\left(\frac{R}{R+H}\right) \approx 0^\circ.124$ при $H = 15$ m и $R = 6378$ km.

Решение:

Можем по различни начини да покажем, че през последните 510 милиона години продължителността на денонощието се е изменяла с постоянен темп и да определим този темп, примерно като нарастване в часове за милион години. Можем да намерим с колко е нараснало денонощието за милион години в интервала между сегашния момент и времето преди 46 милиона години, след това – с колко е нараснало денонощието между времето преди 72 милиона години и преди 46 милиона години и т.н., а накрая да намерим средното аритметично на всички тези нараствания. В случая е добре да изключим от усредняването стойността на нарастването между времената преди 72 и 46 милиона години, защото тя значително се отклонява от останалите, най-вероятно поради неточността на данните.

Можем да намерим нарастването на денонощието между момента преди 200 милиона години и сегашния момент и нарастването преди 510 милиона години и преди 200 милиона години и да усредним двете стойности.

Възможни са и други начини. Ако имаме време, можем да построим графика от тези стойности и да извършим линейна апроксимация – да прекараме (на ръка) най-добре съответстващата права линия на нанесените точки. По получената линейна графика можем да отчетем каква трябва да е била продължителността на денонощието преди 150 милиона години.

При всички тези методи на пресмятане се получава, че действително темпът на нарастване на денонощието е относително постоянен и има стойност между 0.0062 и 0.0063 части от часа за милион години. Равномерността на темпа на нарастване, която произтича от графиката, е очевидна. В крайна сметка се получава, че продължителността на денонощието преди 150 милиона години е била около 23.1 часа.

На схемата с О е означен центърът на Земята, а с А – точката, в която се намираме заедно с динозавъра. Височината на динозавъра в изправено положение е $H$, а $R$ е радиусът на Земята. Както се вижда, ъгълът ХОА е равен на ъгъла $\alpha$, с който се понижава хоризонтът за погледа на динозавъра в сравнение с нашия хоризонт – това са ъгли с взаимно перпендикулярни рамена. Следователно можем да напишем:

Сега можем да намерим колко време преди ние да видим първия слънчев лъч главата на динозавъра ще започне да се огрява от Слънцето:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За обосноваване на твърдението, че темпът на нарастване е бил приблизително постоянен – 4 т.

За определяне на продължителността на денонощието преди 150 милиона години – 3 т.

За правилен начин за определяне на времето между огряването на главата на динозавъра и достигането на първия слънчев лъч до наблюдателя – 3 т.

За пресмятане на отговора – 2 т.