НОА 2024, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Наблюдавано от Плевен

• A: (16h 20m, +35,6°) или (16h 20m, +49,6°); B: (10h 52m, +82,9°) или (21h 48m, +82,9°); C: (11h 22m, +8,4°)

Звезда A:

Звезда A достига много висок темп на промяна на азимута: $\omega_A = 1{,}5^{\circ}/\mathrm{min} = 90''/\mathrm{s}$. Това може да стане само близо до зенит и трябва да бъде в кулминация, когато звездата е максимално близо до зенит и ъгловата ѝ скорост е перпендикулярна на направлението към зенита. Ъгловата скорост на небесния екватор е 15″/s, съответно, за звезда на деклинация δ е

В кулминация звездата се движи по алмукантарат (малък кръг, успореден на хоризонта) и факторът, с който този малък кръг е по-голям от хоризонта, е cos($h$). Следователно темпът на промяна на азимута ще бъде

Зенитното отстояние в кулминация е $z = |\delta - \varphi|$, където $\varphi = 43{,}417^{\circ}$ е географската ширина. Получаваме

Числено решение дава две възможни решения: $\delta = 49{,}6^{\circ}$ (кулминация на север от зенита) и $\delta = 35{,}6^{\circ}$ (кулминация на юг от зенита).

На 27 април (37 дни след пролетно равноденствие) ректасцензията на средното Слънце е около 37° = 2h 28m. Поради лятното часово време то достига долна кулминация не в полунощ, а в 01:00 поясно време за средата на пояса. Плевен е на 30° – 24,6° = 5,4° = 21,6 минути западно от средата на часовия пояс, т.е. за Плевен долната кулминация на средното Слънце е в 01:22 и на 27 април звездното време тогава ще бъде 2h 28m + 12h = 14h 28m. Звезда A кулминира в 03:14, което е 1h 52m по-късно. Ректасцензията ѝ (звездното време в 03:14 на 27 април) ще бъде 14h 28m + 1h 52m = 16h 20m.

Отговор (A): (16h 20m, +35,6°) или (16h 20m, +49,6°) (4т.)

Звезда B: Максималният темп на промяна на височината е равен на ъгловата скорост на звездата, когато тя се движи право нагоре или надолу. В случая стойността е много малка ($\omega = 0{,}031^{\circ}/\mathrm{min} = 1{,}86''/\mathrm{s}$), което означава, че звездата е околополюсна. Деклинацията ѝ получаваме от

Получаваме $\delta = 82{,}9^{\circ}$.

На 27 април в 03:14 звездното време е $s$ = 16h 20m и такава е ректасцензията на звездите право над полюса. За звезда на 7° от полюса можем да представим денонощния паралел в планиметрична проекция (допускаме, че за x = 7° sin x = x [rad]) и тогава височината на часов ъгъл 6h и 18h (директно вляво и вдясно от небесния полюс) ще е същата като на небесния полюс. Звездата ще бъде 1° по-високо по паралела преди да достигне t = 6h или след като премине t = 18h като за дъгата Δ$t$ по паралела от тези две положения важи

Получаваме Δ$t$ = 8,1° = 32,4 m. Следователно възможните часови ъгли на звезда B, за да е с 1° по-високо от полюса, са $t$ = 18h 32m и $t$ = 5h 28m. Ректасцензията намираме от връзката със звездното време

Получаваме $\alpha$ = 10h 52m или $\alpha$ = 21h 48m

Отговор (B): (10h 52m, +82,9°) или (21h 48m, +82,9°), без отчитане на уравнението на времето. (4т.)

Звезда C:

След като звездата достига 5,8° през два равни интервала по 11h 58m (половин звездно денонощие), би трябвало алмукантаратът с височина +5,8° да разполовява денонощния паралел на звездата. Оттук следва, че проекцията от полюса през пресечната точка A да пада в изток (или запад). Небесният екватор изгрява под ъгъл 90- $\varphi$ в точката изток (на чертежа). Следователно в правоъгълен триъгълник ECH ъгъл CEH = $\varphi$, CH = 5,8°, а EC = $\delta$. Оттук

На 10 септември Слънцето се намира в точка S, 12° преди есенното равноденствие (точка O) по еклиптиката. Търсената звезда C е на паралел с деклинация 8,4°, който пресича еклиптиката в M. Можем да намерим OM и OH от

Пресмятаме MS = OM – SO = 9,1° и

Разликата Δ$\alpha$ = OH – MC = 9,4°=37,6m дава разликата в ректасцензиите на звезда C и есенната равноденствена точка. Ректасцензията на C е $\alpha$ = 12h 00m – 37,6m = 11h 22m.

Отговор (C): (11h 22m, +8,4°) (4т.)