Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Водната планета

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия — III кръг, 27 април 2024 г. — Ученици от 11-12 клас · 27 април 2024 г. · 13 т.

Условие

Водната планета обикаля около Оранжевото слънце и има Каменна луна, която създава приливи и отливи. Времето между два последователни прилива е точно 54% от времето между два последователни изгрева на Оранжевото слънце. Всяко пълнолуние на Каменната луна се наблюдава на 55° по звездното небе от мястото, където луната е била по време на предишното си пълнолуние. Скоростта на движение на планетата по орбитата е 56 пъти по-висока от скоростта на околоосно въртене на точка от екватора ѝ. Видимият ъглов размер на Оранжевото слънце в небето на планетата е 37′. Орбитите на планетата и на луната са кръгови, и двете лежат в равнината на екватора на планетата и орбиталните движения са в една и съща посока с околоосното ѝ въртене.

А) С колко процента спада блясъкът на Оранжевото слънце при централен транзит (пасаж) на Водната планета пред него, наблюдаван от Земята? [8 т.]

Б) Ако средната температура на водната планета е 38°C, то какъв е цветът на Оранжевото слънце, при наблюдение от Земята? Междузвездната екстинкция и парниковият ефект да се пренебрегнат. Отражателната способност (Бонд албедото) на океаните е около 7%. [5 т.]

Отговори

Решение

Решение:

А) Приливите се случват в точките по повърхността на Водната планета, чиято екваториална проекция лежи на направлението Водна планета – Каменна луна. Ако пресметнем периода на завъртане на Водната планета спрямо направлението към Каменната луна $T_{SYN1}$ , то времето между два последователни прилива е $T_{SYN1}/2$ . Ако ротационният период на планетата е $T_{ROT}$ , а орбиталният период на Каменната луна е $T_L$ , то

\frac{1}{T_{ROT}} = \frac{1}{T_{SYN1}} + \frac{1}{T_L}

Средното време между два последователни изгрева е слънчевото денонощие $D$ , а орбиталният период на планетата около Оранжевото слънце е $T_P$ . Те са свързани чрез

\frac{1}{T_{ROT}} = \frac{1}{D} + \frac{1}{T_P}

Заместваме и получаваме

\frac{1}{T_{SYN1}} + \frac{1}{T_L} = \frac{1}{D} + \frac{1}{T_P}

\frac{1}{T_L} - \frac{1}{T_P} = \frac{1}{D} - \frac{1}{T_{SYN1}}

За времето между две пълнолуния (синодичния месец на Каменната луна) важи:

\frac{1}{T_{SYN2}} = \frac{1}{T_L} - \frac{1}{T_P}

Заместваме и получаваме

\frac{1}{T_{SYN2}} = \frac{1}{D} - \frac{1}{T_{SYN1}}

От условието времето между два последователни прилива е 0,54 $D$ , т.е. $T_{SYN1}$ =1,08 $D$ . Заместваме и получаваме

\frac{1}{T_{SYN2}} = \frac{1}{D} - \frac{1}{1{,}08D}

T_{SYN2} = 13{,}5D

За един орбитален период Каменната луна изминава 360° по небето, а за един синодичен месец - 360°+55° = 415°. Орбиталният период на луната е

T_L = \frac{360}{415}T_{SYN2} = 11{,}711D

Орбиталния период на планетата около Оранжевото слънце получаваме от

\frac{1}{T_{SYN2}} = \frac{1}{T_L} - \frac{1}{T_P}

T_P = 88{,}37D

От връзката

\frac{1}{T_{ROT}} = \frac{1}{D} + \frac{1}{T_P}

Получаваме

T_P = 89{,}37T_{ROT}

Изразяваме двата периода с радиуса на въртеливото движение и линейната скорост (съответно по орбитата $v_P$ и на екватора $v_{ROT}$ )

\frac{2\pi r_P}{v_P} = 89{,}37\frac{2\pi R_P}{v_{ROT}}

\frac{r_P}{R_P} = 89{,}37\frac{v_P}{v_{ROT}}

От условието $v_P = 56v_{ROT}$ . Заместваме и получаваме

\frac{r_P}{R_P} = 5005

Ъгловият размер на Оранжевото слънце от планетата зависи от радиуса на орбитата на планетата $r_P$ и от радиуса на Оранжевото слънце $R_S$ :

\delta = \frac{2R_S}{r_P}

\frac{r_P}{R_S} = 185{,}8

Разделяме на предното отношение и получаваме

\frac{R_S}{R_P} = 26{,}94

При транзит, наблюдаван от Земята, покритата част от диска на звездата към целия диск е

\frac{\pi {R_P}^2}{\pi {R_S}^2} = \frac{1}{26{,}94^2} = 1{,}38.10^{-3}

Блясъкът спада с 0,138%.

(8т.)

Б) Светимостта на Оранжевото слънце е $L$ и потокът, който то създава на единица площ на разстояние $r_P$ е

\Phi = \frac{L}{4\pi {r_P}^2}

Пълната мощност, която Водната планета поема от звездата си, умножаваме по (1-A), за да получим мощността, която Водната планета поглъща (A = 0.07 е албедото)

P = (1-A)\frac{L\pi {R_P}^2}{4\pi {r_P}^2}

По закона на Стефан-Болцман

P = 4\pi {R_P}^2\sigma {T_P}^4

L = 4\pi {R_S}^2\sigma {T_S}^4

Разделяме, заместваме и получаваме

\frac{P}{L} = \frac{{R_P}^2{T_P}^4}{{R_S}^2{T_S}^4} = (1-A)\frac{\pi {R_P}^2}{4\pi {r_P}^2}

\frac{{T_P}^4}{{T_S}^4} = \frac{(1-A)}{4}\frac{{R_S}^2}{{r_P}^2}

\frac{T_S}{T_P} = 19{,}63

Ако температурата на Водната планета е $T_P$ = 38°C = 311K, то температурата на Оранжевото слънце е 6100 K, което е в границите за температура на звезда от спектрален клас G ( K). Оранжевото слънце е жълто! Разбира се, нали е Слънце!

(5т.)

Оригинал в Архива: 24-III-1112-teor.docx · официални решения: a24-III-1112-teor.docx