Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Земята и Луната, гледани от Венера.

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия — III кръг, 27 април 2024 г. — Ученици от 11-12 клас · 27 април 2024 г. · 12 т.

Условие

Вие работите в изследователска станция дирижабъл, която се носи в горните, не толкова опасни и горещи, облачни слоеве в атмосферата на Венера. Понякога се качвате на малката космическа совалка в хангара на станцията и излитате на разходка малко над плътните облаци, където можете да се полюбувате на Земята, за която сте се затъжили. Особено щастливи сте, когато точно в един такъв момент, родната ни планета е в противостоене, относно Венера, и може да се наблюдава като ярка синя звезда.

А) В каква конфигурация е Венера относно Земята в този момент? [1 т.]

Б) Каква е звездната величина на Земята, гледаната от Венера? [3 т.]

В) Когато летите над облаците на Венера, на какво максимално ъглово отстояние от Земята ще можете да наблюдавате Луната? Възможно ли ще бъде да различите Земята и Луната с невъоръжено око? [2 т.]

Г) Начертайте кривата на блясъка на системата Земя-Луна, когато Луната преминава пред Земята, при наблюдение от Венера. Съобразете колкото се може повече детайли и ги отбележете по графиката. [6 т.]

Приемете, че Земята и Венера се движат около Слънцето по кръгови орбити, лежащи точно в една равнина.

Справочни данни:

Сидеричен лунен месец – 27,32 денонощия

Орбитален период на Земята – 365,25 денонощия

Радиус на орбитата на Луната – 384 400 km

Радиус на орбитата на Венера – 0,72 au

Радиус на Земята – 6 400 km

Радиус на Луната – 1 738 km

Геометрично албедо на Земята – 0,37

Геометрично албедо на Луната – 0,12

Видима звездна величина на Луната в пълнолуние - $-12^{m}{,}7$

Астрономическа единица – 149 600 000 km

Отговори

Решение

Решение:

А) Щом Земята се намира в противостоене, спрямо Венера, то Венера е разположена точно между Земята и Слънцето. Следователно търсената конфигурация е долно съединение.

Б) Нека да въведем следните означения:

$R_{\text{В}}$ – радиус на Венера

$R_{\text{Л}}$ – радиус на Луната

$r_{\text{З}}$ = 1au – радиус на земната орбита

$r_{\text{В}}$ – радиус на орбитата на Венера

r – радиус на лунната орбита около Земята

$A_{\text{В}}$ – албедо на Венера

$A_{\text{Л}}$ – албедо на Луната

$m_{\text{Л}}$ – звездна величина на Луната в пълнолуние

$m_{\text{З}}$ – търсената звездна величина на Земята, наблюдавана от Венера в противостоене

Осветеността, която се създава от един небесен обект, който разсейва светлината на Слънцето е правопропорционална на неговата отразяваща площ и неговата отражателна способност. Тази осветеност е обратнопропорционална на квадратите на разстоянията от обекта до Слънцето и до наблюдателя.

Следователно, ако Луната в пълнолуние, за земния наблюдател, създава осветеност $E_{\text{Л}}$ , то можем да запишем, че:

E_{\text{Л}}\ \frac{A_{\text{Л}}.R_{\text{Л}}^2}{r_{\text{З}}^2.r^2}

Тук, в разстоянието до Слънцето, е пренебрегнато допълнителното разстояние от Земята до Луната, поради това, че то е само 1/400 от разстоянието Слънце-Земя.

Аналогично, за осветеността, която Земята в противостоене създава за наблюдател на Венера е в сила:

E_{\text{З}}\ \frac{A_{\text{З}}.R_{\text{З}}^2}{r_{\text{З}}^2.(r_{\text{З}} - r_{\text{В}})^2}

Точните формули за осветеностите съдържат и други множители, но те са константи и коефициенти, които се съкращават при изразяване на отношението. За него получаваме:

\frac{E_{\text{З}}}{E_{\text{Л}}} = \frac{A_{\text{З}}}{A_{\text{Л}}}.\left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{Л}}}\right)^2.\left(\frac{r}{r_{\text{З}} - r_{\text{В}}}\right)^2 \approx 3.10^{-3}

Съгласно закона на Погсон:

m_{\text{З}} - m_{\text{Л}} = -2.5lg\ \left(\frac{E_{\text{З}}}{E_{\text{Л}}}\right)

Следователно:

m_{\text{З}} = m_{\text{Л}} - 2.5lg\ \left(\frac{E_{\text{З}}}{E_{\text{Л}}}\right) \approx -6^{m},57

В) Максималното ъглово отстояние на Луната от Земята, което можем да наблюдаваме от Венера е:

\theta_{MAX} = \frac{r}{r_{\text{З}} - r_{\text{В}}} \approx 31{,}5'

Разделителната способност на човешкото около е около 1 дъгова минута. Поради това ще бъде съвсем лесно да разделим Луната и Земята. Това разстояние, всъщност, е равно на видимия ъглов размер на Луната, наблюдавана от Земята.

Г) Нека първо да намерим звездната величина $m_{MAX}$ , на системата Земя-Луна, когато наблюдателят от Венера може да вижда и двете тела.

За осветеността $E_{MAX}$ , която се създава тогава можем да запишем:

E_{MAX}\ \frac{A_{\text{З}}.R_{\text{З}}^2 + A_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2}{r_{\text{З}}^2.(r_{\text{З}} - r_{\text{В}})^2}

Можем да запишем следното съотношение:

\frac{E_{MAX}}{E_{\text{З}}} = \frac{A_{\text{З}}.R_{\text{З}}^2 + A_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2}{A_{\text{З}}.R_{\text{З}}^2} \approx 1.024

Виждаме, че осветеността, която Луната и Земята създават е само с около 2.4% по-голяма от осветеността, създавана само от Земята. Следователно:

m_{MAX} - m_{\text{З}} = -2.5lg\ \left(\frac{E_{MAX}}{E_{\text{З}}}\right)

Откъдето:

m_{MAX} = m_{\text{З}} - 2.5lg\ \left(\frac{E_{MAX}}{E_{\text{З}}}\right) \approx -6^{m},59

Сега ще да намерим звездната величина $m_{MIN}$ , която системата Земя-Луна има за наблюдател на Венера, когато дискът на Луната е пред този на Земята.

За осветеността, която тогава се създава за венерианския наблюдател ( $E_{MIN}$ ) може да се запише следното:

E_{M\in\frac{A_{\text{З}}.(R_{\text{З}}^2 - R_{\text{Л}}^2) + A_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2}{r_{\text{З}}^2.(r_{\text{З}} - r_{\text{В}})^2}}

В сила е следното съотношение:

\frac{E_{MIN}}{E_{\text{З}}} = \frac{A_{\text{З}}.(R_{\text{З}}^2 - R_{\text{Л}}^2) + A_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2}{A_{\text{З}}.R_{\text{З}}^2} \approx 0.95

m_{MIN} - m_{\text{З}} = -2.5lg\ \left(\frac{E_{MIN}}{E_{\text{З}}}\right)

Откъдето:

m_{MIN} = m_{\text{З}} - 2.5lg\ \left(\frac{E_{MIN}}{E_{\text{З}}}\right) \approx -6^{m},51

Остава да пресметнем интервалите от време между характерните моменти на пасажа на Луната пред Земята.

За времето от първи до втори контакт (т.е. от момента в който Луната започва да закрива Земята, до момента, в който целият ѝ диск е пред земния) тя изминава приблизително един свой диаметър. През този интервал от време звездната величина на системата Земя-Луна се променя от $m_{MAX}$ , до $m_{MIN}$ . Ако означим с $T_{SID}$ сидеричният лунен месец, то продължителността на тази част от пасажа е:

\Delta t_1 = \frac{2R_{\text{Л}}}{2\pi r}T_{SID} \approx 56min

Между втори и трети контакт, Луната е изцяло пред диска на Земята и изминава път, равен на разликата между земния и лунния диаметър. Следователно, интервалът от време между втори и трети контакт е:

\Delta t_2 = \frac{2(R_{\text{З}} - R_{\text{Л}})}{2\pi r}T_{SID} \approx 151min

През този интервал от време, звездната величина на системата Земя-Луна остава равна на $m_{MIN}$ .

Всъщност, това не е съвсем вярно, защото по периферията си дискът на Земята има по-малка яркост на единица ъглова площ (повърхностна яркост), отколкото в центъра. Затова, между втори и трети контакт, кривата на блясъка не би трябвало да е съвсем хоризонтална, а леко извита надолу. Този ефект трудно може да се оцени количествено и не се изисква от учениците.

От трети до четвърти контакт Луната „излиза“ от диска на Земята. Продължителността на интервала от време между тези два контакта е $\Delta t_1$ . В това време звездната величина на системата се променя от $m_{MIN}$ , до $m_{MAX}$ .

Кривата на блясъка е показана на графиката:

Крива на блясъка: по вертикалната ос „звездна величина“ със стойности -6,59 и -6,51, по хоризонталната „време, min“. Кривата е хоризонтална на -6,59, спада линейно за 56 min до -6,51, остава почти хоризонтална (леко извита) 151 min и се връща линейно за 56 min до -6,59.

Критерии за оценяване (общо 12т.):

А) – 1т.

За правилно посочване на конфигурацията – 1т.

Б) – 3т.

За правилна математическа постановка за изразяване на осветеността, която Земята създава за Венера в противостоене – 2т.
За правилен буквен израз и краен числен резултат – 1т.

В) – 2т.

За правилно изразяване на максималното ъглово отстояние и верен числен резултат – 1т.
За правилен извод дали Земята и Луната могат да бъдат разделени с невъоръжено око – 1т.

Г) – 6т

За правилно изразяване на звездната величини на системата Земя-Луна, когато яркостта е максимална и верен числен резултат – 1.5т.
За правилно изразяване на звездната величини на системата Земя-Луна, когато яркостта е минимална и верен числен резултат – 1.5т.
За правилно изразяване на интервалите от време между характерните моменти на пасажа на Луната пред Земята и верни числени резултати – 1.5т.
За правилно построена графика, на която са отразени всички важни детайли– 1.5т.

Оригинал в Архива: 24-III-1112-teor.docx · официални решения: a24-III-1112-teor.docx