Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Неизвестна планета.

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия — III кръг, 27 април 2024 г. — Ученици от 11-12 клас · 27 април 2024 г. · 13 т.

Условие

Бивш астро-олимпиец, отскоро студент по физика, ви подготвя за участие в олимпиадата. За да ви покаже колко малко знаете, той възнамерява да ви даде задача, за която е убеден, че е нерешима поради липса на достатъчно данни и да наблюдава как напразно ще се опитвате да се справите с нея. Но вие имате предимството на незнаещия – не знаете, че задачата е нерешима. И я решавате! Опитайте се да му дадете вашия урок.

В таблицата са дадени стойностите на лъчевата скорост $V_r$ на една планета от Слънчевата система, относно Слънцето, в различни моменти от време t в дни (нулевият момент е произволно избран).

А) Начертайте графика на зависимостта на $V_r$ от времето t. [2 т.]

Б) Като използвате графиката, определете орбиталния период на планетата. [1 т.]

В) Определете ексцентрицитета на орбитата на тази планета. [6 т.]

Г) Определете голямата полуос на орбитата на планетата. [3 т.]

Д) Пресметнете масата на Слънцето. [1 т.]

Указание: При решаването на тази задача НЕ ТРЯБВА да използвате никакви допълнителни справочни данни, а само данните, които са дадени в условието!

Гравитационна константа – $G = 6{,}67.10^{-11}\ kg^{-1}s^{-2}m^{3}$

t [d]	Vr [km/s]	t [d]	Vr [km/s]
1	5,73	49	–7,64
5	3,82	53	–4,51
9	2,08	57	–0,17
13	0,17	61	4,17
17	–1,91	65	7,47
21	–3,82	69	9,38
25	–5,56	73	10,07
29	–7,12	77	9,9
33	–8,68	81	8,68
37	–9,72	85	7,47
41	–10,07	89	5,73
45	–9,55	93	3,99

Отговори

Решение

Решение:

А) На милиметровата хартия начертаваме графика, която показва зависимостта между $V_r$ и t (фиг. 1):

Графика на лъчевата скорост Vr [km/s] (от -15 до 15) в зависимост от времето t [d] (от 0 до 100): точките от таблицата, свързани с плавна крива — спад от около 5,7 при t=1 до минимум около -10 при t≈41, пресичане на нулата при t≈13 и t≈57, максимум около 10 при t≈73 и спад до около 4 при t=93. — Фиг. 1

Б) Лъчевата скорост на планетата, във всеки един момент, е числено равна на промяната на разстоянието между планетата и Слънцето за единица време (тук може да се използва и думата производна на разстоянието). Това означава, че тази лъчева скорост е равна на 0, когато това разстояние е максимално или минимално, т.е. планетата преминава през перихелия и афелия на своята орбита. Интервалът от време между преминаване през перихелия и следващото преминаване през афелия е половината от орбиталния период на планетата. Това означава, че ние бихме могли да измерим интервала време между моментите, в които лъчевата скорост е 0 и да го умножим по 2. От графиката намираме, че лъчевата скорост е равна на нула съответно 13 денонощия и 57 денонощия след избрания нулев момент. Интервалът от време между двата момента е 44 денонощия, т.е. орбиталният период на тази планета е $P = 88d$ .

От тук може да се направи изводът, че планетата е Меркурий 😊

В) Ще намерим на какво разстояние от Слънцето се намира планетата, в момента, в който нейната лъчева скорост е максимална по абсолютна стойност.

Ако голямата полуос на орбитата е $a$ , ексцентрицитетът е $e$ , а масите на звездата и планетата са съответно M и m, то пълната механична енергия $E$ и момента на импулса $L$ на планетата могат да се изразят така:

E = \frac{-GMm}{2a}

L = m\sqrt{GMa(1-e^2)}

Пояснение: Тези формули могат да бъдат използвани наготово. Не е задължително ученикът да е показал как се извеждат. Все пак, извеждането им може да се направи посредством прилагането на законите за запазване на енергията и на момента на импулса за перихелий и афелий. Ако $V_P$ и $V_A$ са съответните скорости на планетата, то съгласно закона за запазване на енергията:

\mathrm{E} = \frac{mV_P^2}{2} - \frac{GMm}{r_P} = \frac{mV_A^2}{2} - \frac{GMm}{r_A}(1)

От закона за запазване на момента на импулса имаме, че:

L = mV_Pr_P = mV_Ar_A(2)

Комбинирайки уравнения (1) и (2) и използвайки, че $r_P = a(1-e)$ и $r_{\mathrm{A}} = a(1+e)$ , получаваме, че:

V_A = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\sqrt{\frac{GM}{a}}

V_P = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\sqrt{\frac{GM}{a}}

Замествайки получените изрази за перихелийната и афелийната скорост, в горните две уравнения, получаваме:

E = \frac{-GMm}{2a}

L = m\sqrt{GMa(1-e^2)}

Законът за запазване на механичната енергия ни дава възможност да изразим скоростта V, която планетата има, ако се намира на произволно разстояние r от Слънцето. Записваме следното уравнение:

\frac{mV^2}{2} - \frac{GMm}{r} = \frac{-GMm}{2a}

От тук:

V^2 = \frac{2GM}{r} - \frac{GM}{a}

От друга страна, ако $V_\tau$ е компонентата на скоростта, която е перпендикулярна на радиус-вектора (тангенциалната компонента), то моментът на импулса може да се изрази така:

L = mV_\tau r

Приравнявайки този израз на общата формула за момент на импулса получаваме:

V_\tau^2 = \frac{GMa(1-e^2)}{r^2}

Съгласно Питагоровата теорема:

V^2 = V_r^2 + V_\tau^2

Откъдето следва, че:

V_r^2 = V^2 - V_\tau^2 = \frac{2GM}{r} - \frac{GM}{a} - \frac{GMa(1-e^2)}{r^2} = \frac{GM}{a}\left(\frac{2a}{r} - 1 - \frac{a^2(1-e^2)}{r^2}\right)

Нека да означим $\frac{a}{r}$ с X. Получаваме:

V_r^2 = \frac{GM}{a}(2X - 1 - (1-e^2)X^2)

Ако $V_r^2$ е максимална, то максимална е лъчевата скорост по абсолютна стойност.

За да намерим при какво X се достига максимумът на $V_r^2$ трябва да анализираме получената квадратна функция. Тя действително има максимум, защото коефициентът пред X² е отрицателен. Това може да се направи и без използването на производна 😊. Коефициентите в квадратната функция са:

\mathrm{A} = -(1-e^2); B = 2; C = -1

Максималната стойност на функцията се достига при:

X_0 = \frac{-B}{2A} = \frac{1}{1-e^2}

От тук следва, че лъчевата скорост е максимална по абсолютна стойност при разстояние:

r_0 = a(1-e^2)

Това е дължината на отсечката, която е перпендикулярна на голямата ос на елипсата и свързва единия фокус с точка от елипсата (аномалия 90⁰). Нарича се фокален параметър p (semi-latus rectum). За следващите стъпи в решението, това не се използва.

Ключов момент за остатъка от решението е, че лицето под кривата на лъчевата скорост е изменението на разстоянието между планетата и Слънцето. Това е така, защото по дефиниция лъчевата скорост представлява темпът, с който се изменя това разстояние (с други думи, неговата първа производна по времето). Ние може да намерим това лице числено, дори без експлицитно използване на интеграл.

В първия момент, в който лъчевата скорост е равна на 0, планетата се намира в афелия на орбитата си. Тогава разстоянието от нея до Слънцето е $r_A$ = a(1+e). По време на първия екстремум (който е минимум) на лъчевата скорост, разстоянието между планетата и Слънцето е $r_0 = a(1-e^2)$ . Следователно, площта $S_1$ (означена с червено на схемата) под графиката на лъчевата скорост е числено равна на разликата между двете разстояния, т.е.

S_1 = r_A - r_0 = ae(1+e)

Аналогично, площта под кривата $S_2$ (означена в зелено) от момента на екстремума, до втория момент, в който лъчевата скорост е равна на 0 е числено равна на разликата между $r_0$ и перихелийното разстояние $r_P$ = a(1-e) или:

S_2 = r_0 - r_P = ae(1-e)

Отношението на двете площи е:

\frac{S_2}{S_1} = \frac{1-e}{1+e}

За да намерим стойността на това отношение не е нужно да пресмятаме площите в съответните мерни единици (au или km). Можем просто да преброим квадратчетата от милиметровата хартия, които попадат под съответните части на кривата. В зависимост от използвания мащаб, тяхната бройка може да бъде различна. Но съотношението на площите се поучава около 1.5 пъти.

От тук можем да намерим, че $e \approx 0.2$ .

Този резултат е в съгласие с получената стойност в предното подусловие.

По-добра точност не е разумна, защото от учениците се изисква на извършат числено намиране на площ под крива, а това е процедура, която не може да се направи напълно прецизно.

Същата графика Vr [km/s] – t [d]; площта между кривата и оста t от t≈13 до t≈41 (минимума) е оцветена в червено и означена S₁, а от t≈41 до t≈57 — в зелено и означена S₂.

Г) За да намерим голямата полуос, отново ще използваме, че площта под кривата на лъчевата скорост, между два момента, е числено равна на изменението на разстоянието между планетата и Слънцето.

Този път ще измерим площта S под кривата, между моментите в които лъчевата скорост 0, но сега ще изразим тази площ в мерни единици за разстояние. Това са моментите, в които планетата се намира в перихелий и съответно в афелий. Следователно, тази площ е равна на разликата между $r_A$ = a(1+e) и $r_P$ = a(1-e).

От тук получаваме, че:

S = r_A - r_p = 2ea

Преброявайки квадратчетата между кривата и абсцисната ос, приблизително можем да оценим, че $S \approx 320\left(\frac{km}{s}\right)d$

След превръщане на мерните единици, получаваме, че:

S \approx 22\text{млн}km. \approx 0.15au

Знаейки, че: $S = r_A - r_P = 2ea$ и използвайки пресметнатата стойност на ексцентрицитета, получаваме:

a = \frac{r_A - r_P}{2e}

a \approx 58\text{млн}.km \approx 0.39au

Тази стойност е много близка до истинската голяма полуос на орбитата на Меркурий.

Същата графика Vr [km/s] – t [d]; цялата площ между кривата и оста t от t≈13 до t≈57 е оцветена в жълто с надпис „S=2.e.a“.

Д) Съгласно третия закон на Кеплер:

\frac{a^3}{P^2} = \frac{GM}{4\pi^2}

От тук намираме:

M = \frac{4\pi^2}{GP^2}a^3 \approx 2.10^{30}kg

Критерии за оценяване (общо 13т.):

А) – 2т.

За правилно избран мащаб (използвани са поне 2/3 от площта на листа милиметрова хартия и обхватът на осите е достатъчен, за да се съберат всички точки) – 0.5т
За правилно нанасяне на всички точки – 0.5т.
За равномерно разграфяване на осите – 0.5т.
За прекарана плавна крива – 0.5т.

Б) – 1т.

За правилни съображение относно това как може да бъде намерен периодът – 0.5т.
За правилна числена стойност – 0.5т.

В) – 6т.

За правилно изпълнен метод, посредством който е получена разумна стойност за ексцентрицитета се присъждат 6т.

Трябва да се има предвид, че използваният от ученика метод може да бъде съществено различен от предложените в официалното решение. Всеки принципно правилен метод би следвало да се оцени по достойнство.

Г) – 3т.

За правилна геометрична идея как можем да намерим разликата между перихелийно и афелийно разстояние – 1.5т.
За правилни измервания и получени числени стойности – 1т.
За правилно пресметната голяма полуос – 0.5т

В това подусловие също е възможно методът използван от ученика да е съществено различен от авторски, но да е правилен!

Д) – 1т.

За III закон на Кеплер – 0.5т
За правилна числена стойност – 0.5т.

Оригинал в Архива: 24-III-1112-teor.docx · официални решения: a24-III-1112-teor.docx