Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Ракообразната мъглявина

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. III кръг, 27 април 2024 г. Ученици от 7-8 клас · 27 април 2024 г. · 13 т.

Условие

Ракообразната мъглявина (M1) е остатък от избухването на свръхновата SN 1054, което е било наблюдавано през 1054 г. и описано подробно от китайски астрономи. Мъглявината се намира в съзвездието Бик, в приблизително противоположно направление спрямо центъра на Галактиката, за земния наблюдател. Разстоянието до нея е 6500 ly (светлинни години) от Земята. Наблюдаваният линеен размер на M1 към 2024 г. е 11 ly. Разстоянието от нас до центъра на Галактиката е 26700 ly.

А) Изчислете средната скорост на разширение на най-външните части на M1 от избухването досега, в km/s. [3 т.]

Б) Човечеството излъчва радиосигнали за пръв път през 1897 г. След 230 години те ще достигнат планета в съзвездието Стрелец, в посока към центъра на Галактиката. Колко светлинни години ще е линейният размер на M1, наблюдаван от тази планета в момента на получаване на нашите радиосигнали? [3 т.]

В) В настоящия момент Ракообразната мъглявина може да се наблюдава от всички точки, включени в определен ограничен обем от космическото пространство около нея. Пресметнете този обем в кубически метри. [3 т.]

Г) Галактиката X е на разстояние 32 000 000 ly от нас и отстои по нашето земно небе на 135° от центъра на Млечния път. Годината е 2054. Ние излъчваме мощен радиосигнал към галактиката X. В даден момент в бъдещето извънземна цивилизация, обитаваща планета в галактиката X, наблюдава свръхновата SN 1054. Колко години след този момент цивилизацията в галактиката X ще засече нашия радиосигнал? [4 т.]

Светлинната година (ly) е пътят, изминат от светлината във вакуум за една година. Скоростта на светлината във вакуум е $c = 300\ 000$ km/s.

Отговори

Решение

А) Разстоянието от центъра до ръба на M1 е половината размер, т.е.
$R$ = 11/2 ly = 5,5 ly = (5,5 yr) $c$
Това разстояние видимо е изминато от газа от 1054 г. до 2024 г., т.е. за време
$t$ = 2024 – 1054 = 970 yr. Средната скорост на разширение е

v = \frac{R}{t} = \frac{5{,}5}{970} c = 1700\ \mathrm{km/s}

(3т.)

Б) В посока към планетата в съзвездието Стрелец светлината от M1 минава близо до Земята, тъй като M1, Слънцето и центъра на Галактиката са приблизително на една права. И светлината от M1, и радиосигналите се движат със скорост $c$ , съответно пътуват заедно от Земята до планетата в Стрелец. Наблюдателите на тази планета ще получат радиосигналите от 1897 г. едновременно със светлината от M1, която е преминала оттук през 1897 г. Тогава M1 е изглеждала по-малка за Земята, тъй като е наблюдавана 1897 – 1054 = 843 години след избухването. Ако приемем, че M1 се разширява с постоянен темп, то размерът ѝ, наблюдаван през 1897 г. е бил (843/970)11 ly = 9,56 ly. (3т.)

В) Тъй като M1 е на 6500 ly от нас, светлината от мъглявината идва до нас за време 6500 yr. Избухването на свръхновата SN 1054, родило M1, е наблюдавано преди време 970 yr, т.е. реално се е случило преди 6500 + 970 = 7470 години. Следователно първата светлина, излъчена от M1, в момента е достигнала сфера с радиус $R_c$ = 7470 ly и с център в M1. Ракообразната мъглявина M1 може да се наблюдава само от точки в тази сфера, тъй като за наблюдател извън сферата все още не е достигнала светлина, излъчена след образуването на M1. Обемът на сферата е

V = \frac{4}{3}\pi R^3 = 1{,}746.10^{12}\ \mathrm{ly}^3

Превръщаме 1 ly в метри:

1\mathrm{ly} = c(1\mathrm{yr}) = 300000(365{,}25.24.3600)\ \mathrm{km} = 9{,}467.10^{12}\ \mathrm{km}

Заместваме в резултата за обема, повдигаме на 3-та степен и получаваме

V = 1{,}48.10^{60}\ \mathrm{m}^3

(3т.)

Схема: окръжност с център M (Ракообразната мъглявина); точките M, S и O лежат на хоризонтална права, S е вътре в окръжността, O е далеч вдясно. От M и от S излизат две успоредни стрелки нагоре-наляво; стрелката от M пресича окръжността в T, стрелката от S минава през H и Q. Две успоредни прави, перпендикулярни на стрелките, минават през T и Q и през M и H. — M – Ракообразната мъглявина, S – Слънце, O – център на Галактиката, SQ – направление към галактиката X

Г) Моментът на излъчване на радиосигнала към галактиката X е 1000 години след наблюдението на избухването на SN 1054, т.е. 7500 години след самото избухване. За това време светлината от избухването е достигнала сферичен фронт, показан на схемата. Човешкият сигнал към галактиката X тръгва от точка S в този момент, в направление SQ. Светлината от избухването на SN 1054 вече е в точка T и се движи в направление MT към галактиката X. Разликата в оптичните пътища (преднината на светлината от избухването) е отсечка SQ (тъй като QT е допирателна, ъглите в Q и T са прави). SQ = QH + SH, а QH = 7500 ly. Тъй като ъгъл OSQ = 135°, MSQ = 45° и триъгълник SMH е равнобедрен и правоъгълен, т.е. SH = MH. От Питагоровата теорема

SM = \sqrt{SH^2 + MH^2} = SH\sqrt{2}

SH = \frac{SM}{\sqrt{2}} = \frac{6500\ \mathrm{ly}}{\sqrt{2}} = 4596\ \mathrm{ly}

SQ = QH + SH = 12100\ \mathrm{ly}

Тъй като разликата в пътищата на светлината е 12100 ly, извънземната цивилизация ще засече нашия радиосигнал 12100 години след като наблюдава избухването на SN 1054.
(4т.)

Оригинал в Архива: 24-III-78-teor.docx · официални решения: a24-III-78-teor.docx