Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Троянски астероиди

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. III кръг, 27 април 2024 г. Ученици от 7-8 клас · 27 април 2024 г. · 12 т.

Условие

Троянските астероиди (троянци) са астероиди, движещи се по орбитата на дадена планета близо до точките на Лагранж L4 и L5 в системата планета-Слънце. Това са двете точки по орбитата, които образуват равностранни триъгълници с планетата и Слънцето, т.е. те са на 60° напред от планетата по посока на нейното движение (L4) и на 60° назад от планетата (L5) по нейната орбита. Ако астероид се намира в една от тези две точки на Лагранж и обикаля около Слънцето по кръгова орбита, със същия период и в същата посока като планетата, то той ще остане като захванат в тази точка на Лагранж (която отстои на 60° от планетата).

Радиусът на орбитата на Уран около Слънцето е почти точно 2 пъти по-голям от радиуса на орбитата на Сатурн.

А) Докажете, че когато Уран е в опозиция спрямо Сатурн (за наблюдател от Сатурн Слънцето и Уран са в две диаметрално противоположни посоки), троянците по орбитата на Сатурн са на възможно най-голямо видимо ъглово отстояние от Слънцето по небето, за наблюдател от Уран. [3 т.]

Б) Докажете, че когато Уран е в опозиция спрямо Сатурн, видимият диск на планетата Сатурн заема 3 пъти по-голяма ъглова площ в небето, при наблюдение от троянците на Сатурн, отколкото при наблюдение от троянците на Уран. [3 т.]

Понастоящем (към 2024 г.) няма открити троянци по орбитата на Сатурн и има само два открити астероиди троянци на Уран. Причината е, отчасти, че орбитите на тези планети са твърде далеч от нас и не можем да открием по-малките тела на такова разстояние. По орбитата на Марс има открити 17 троянци – два в точката L4 и 15 в L5. Тъй като всички те са малки по размер (под 3 km), могат да се наблюдават добре, само когато са в опозиция спрямо нашата планета.

В) Колко дни след като за Земята са в опозиция троянците в точката L4 по орбитата на Марс, ще се случи опозицията на марсианските троянци в точката L5? Орбиталният период на Марс е 687 дни. [3 т.]

Г) Най-големият известен астероид троянец на Марс има диаметър 2,5 km. Най-малкият от 30-те известни троянци на Нептун има диаметър около 50 km. Колко пъти неговата маса е по-голяма от масата на троянеца на Марс, ако плътностите на двата астероида са еднакви? [3 т.]

Отговори

Решение

Схема: две концентрични полуокръжности с център O (Слънцето) — вътрешна (орбита на Сатурн) и външна (орбита на Уран). Отсечката OSU е вертикална; S лежи на вътрешната, U на външната полуокръжност. Точка A е на вътрешната, точка B на външната орбита вляво; начертани са отсечките UA, UB, BS, BA–O, AS и дъга от A до S. — O – Слънце, S – Сатурн, U – Уран в опозиция, A – L4 за Сатурн, B – L4 за Уран

А) На схемата са показани Сатурн и Уран в опозиция (подусловия А) и Б)), както и точките им на Лагранж L4 (A и B). Тъй като разстоянието Слънце-Уран е приблизително 2 пъти по-голямо от Слънце-Сатурн, US = OS. Тъй като L4 е в равностранен триъгълник със Слънцето и планетата, OA=AS=OS. В триъгълник UAO отсечка AS е медиана, която е равна на 1/2 от съответната страна OU => ъгъл UAO е прав. Може да се опише окръжност с център S и радиус SA=SU=SO, за която UAO ще е вписан ъгъл към диаметъра UO, т.е. ще бъде 180°/2 = 90°.
Тъй като допирателната е перпендикулярна на радиуса към нея, щом UAO е прав, UA е допирателна към орбитата на Сатурн. Следователно, гледано от Уран (U), астероиди по орбитата на Сатурн са в максимална елонгация в точка A (видимо най-далече от Слънцето по небето), тъй като за това положение на точка A по орбитата ъгъл AUO е максимален.
(3т.)

Б) Аналогично на A, троянците на Уран в т. B образуват правоъгълен триъгълник със Сатурн (S) и Слънцето (O). Тъй като SO = BO/2 = $r_S$ , ъгъл SBO = 30°. По Питагоровата теорема

BS = \sqrt{BO^2 - SO^2} = r_S\sqrt{3}

Също така, от равностранния триъгълник OAS следва AS = OS = $r_S$ . Следователно

\frac{BS}{AS} = \sqrt{3}

Това е отношението на разстоянията до Сатурн от троянците на Уран в B и от троянците на Сатурн в A. Тъй като ъгловият размер на Сатурн е

\delta = D/r

където $D$ е диаметърът на Сатурн, а $r$ е разстоянието от наблюдателя до Сатурн, ъгловият размер на Сатурн е $3^{1/2}$ пъти по-голям, гледано от A, отколкото гледано от B. Ъгловата площ по небето зависи от ъгловия размер на квадрат, съответно ще е 3 пъти по-голяма.
(3т.)

В) Опозициите на Марс се случват средно през един синодичен период на Марс $T_{SYN}$ , който можем да пресметнем от

\frac{1}{T_{\oplus}} = \frac{1}{T_M} + \frac{1}{T_{SYN}}

Използваме орбиталния период на Земята 365,25 d и орбиталния период на Марс 687 d. Получаваме $T_{SYN}$ = 780 d. За това време Марс и неговите точки L4 и L5 се завъртят с 360° спрямо Слънцето и Земята. Дъгата от L4 до L5 е 120° или 1/3 от кръга, но тъй като Земята е вътрешна спрямо Марс и се върти по-бързо около Слънцето, първо идва опозицията на L5. След опозицията на L4 взаимното разположение на Земята и L5 трябва да се завърти с още 240° до следващата опозиция на L5, което става за време 2/3 $T_{SYN}$ = 520 d. (3т.)

Г) Отношението на масите на нептунианския и марсианския троянец изразяваме с плътности и обеми:

\frac{M_N}{M_M} = \frac{\rho_N}{\rho_M}\frac{V_N}{V_M}

Тъй като обемът на сфера с радиус $R$ е

V = \frac{4}{3}\pi R^3

можем да заместим, съкратим и получим

\frac{M_N}{M_M} = \frac{\rho_N}{\rho_M}\left(\frac{R_N}{R_M}\right)^3

Ако плътностите са еднакви, то отношението на масите е

\frac{M_N}{M_M} = \left(\frac{R_N}{R_M}\right)^3 = 8000

(3т.)

Оригинал в Архива: 24-III-78-teor.docx · официални решения: a24-III-78-teor.docx