НОА 2024, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Опозиции

• А) 21 юли

  Официалното решение приема опозицията на Юпитер на 14 юли (в условието е 16 юли) и получава 21 юли; отбелязва, че в действителност тя е била на 20 юли.

• Б) 20 ноември

  Официалното решение отбелязва, че реалната дата е била около 3 ноември.

Решение:

Видимото движение на планетите на фона на звездите за наблюдател от Земята става с неравномерни темпове. Ние обаче, не разполагаме с подробна информация и при това положение нека приемем, че в момента на опозиция всяка от двете планети се е намирала в средата на отсечката, изобразена на снимката и представяща интервала на ретроградното движение на планетата. Измерваме по снимката и получаваме, че разстоянието между средите на отсечките, описвани от Юпитер и Сатурн, е 49 mm. Дължината на отсечката, която е дадена като мащаб от 5°, се оказва 37 mm. Като използваме този мащаб, определяме видимото ъглово разстояние между положенията на Юпитер и на Сатурн в опозиция:

При опозиция Слънцето, Земята и планетата са на една права линия (ако не отчитаме наклона на орбитата на планетата към еклиптиката|. Това означава, че ъгловото разстояние между положенията на двете планети в опозиция $\Delta\alpha$ се равнява на ъгъла, който Земята ще измине по своята орбита от момента на опозицията на Юпитер до опозицията на Сатурн. Земята ще измине този ъгъл за време:

Оттук следва, че ако опозицията на Юпитер е била на 14 юли, то опозицията на Сатурн трябва да е била на 21 юли. В действителност тя е била на 20 юли, което показва, че нашето решение е доста точно, въпреки не много точния метод, който използваме.

На схемата са изобразени орбитите на Земята, Юпитер и Сатурн, както и положенията на Юпитер в опозиция за наблюдател от Земята на 14 юли и Сатурн в опозиция на 21 юли. На 14 юли Сатурн е бил малко по-назад по своята орбита. Юпитер се движи по-бързо орбитата си от Сатурн. Постепенно той ще „настигне“ Сатурн и тогава ще се случи опозицията на Сатурн за наблюдател от Юпитер. Нека определим ъгъла $\Delta\alpha_1$ , който трябва да измине Юпитер, в координатна система, въртяща се около Слънцето заедно със Сатурн, за да „настигне“ Сатурн. От 14 юли до 21 юли изминават 7 дни. За тези 7 дни Сатурн ще се завърти по своята орбита на ъгъл:

където $T_S$ е орбиталният период на Сатурн, който ни е даден. Оттук намираме:

Означаваме с $T_J$ орбиталния период на Юпитер. Относителната ъглова скорост на орбиталното движение на Юпитер спрямо Сатурн ще бъде:

Юпитер ще „настигне“ Сатурн след време:

Следователно опозицията на Сатурн за наблюдател от Юпитер ще настъпи 129 дни след 14 юли.

129 дни = 17 дни до края на юли + 31 (август) + 30 (септември) + 31 (октомври) + 20 дни от ноември

Според нашите изчисления Сатурн ще бъде в опозиция за Юпитер на 20 ноември. (Реалната дата на опозицията е била около 3 ноември. Неточността в нашето решение се дължи най-вече на неточното познаване на положенията на двете планети в опозиция спрямо Земята и неточността в измерванията.)

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилна теоретична постановка на начина за определяне кога е била опозицията на Сатурн – 2 т.

За измервания и пресмятания – 1 т.

За правилен краен резултат – 1 т.

За правилен теоретичен метод за определяне на датата на опозицията на Сатурн спрямо Юпитер – 2 т.

За формули и изчисления – 3 т.

За получаване на крайния резултат – 1 т.

Забележка: Ако датата на опозицията на Сатурн спрямо Юпитер е определена с използване направо на ъгъла Δα, без да се отчита, че при опозицията на Юпитер планетата Сатурн е била на малко по-малък ъгъл от правата Слънце-Юпитер (Δα₁), оценката да се намалява с 1.5 точки. В този случай се получава с около 3-4 дни по-късна дата.