Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. 2001: Космическа одисея

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. III кръг, 27 април 2024 г. Ученици от 9-10 клас · 27 април 2024 г. · 13 т.

Условие

Филмът на Стенли Кубрик от 1968 г. „2001: Космическа одисея” се счита за едно от най-влиятелните произведения в жанра на научната фантастика. Уводните надписи на филма са на фона на небето от гледна точка на подвижен наблюдател, за когото Слънцето се открива иззад Земята. В приложението са дадени два кадъра от началото на филма.

Два кадъра от началните надписи на филма: над ръба на Земята (светла дъга) се показва тъмният диск на Слънцето със син ореол; под първия кадър надпис METRO-GOLDWYN-MAYER PRESENTS, под втория — 2001: A SPACE ODYSSEY. Във втория кадър Земята е по-ниско спрямо Слънцето. — Изображения към задача 3. 2001: Космическа одисея

А) Направете необходимите измервания и пресметнете разстоянието от наблюдателя до Земята. Във филма се предполага, че наблюдателят е близо до Луната, която е на една права със Слънцето и Земята в дадения момент. Проверете това предположение. Какво е минималното възможно разстояние от наблюдателя до Луната? [5 т.]

Нека да предположим, че наблюдателят е в кръгова орбита около Земята, в равнината на лунната орбита, че Луната е на една права със Слънцето и Земята, както и да пренебрегнем гравитационното влияние на Луната върху наблюдателя.

Б) След какво време Луната ще застане зад центъра на Земята за този наблюдател? [4 т.]

В) Колко пъти е забързана сцената във филма? Времето във филма между двата кадъра е 23 секунди. [4 т.]

Справочни данни:

Разстояние Земя-Слънце: $149{,}6.10^{6}$ km

Радиус на Земята: 6371 km

Радиус на Слънцето: 696 000 km

Голяма полуос на лунната орбита: 384 400 km

Ексцентрицитет на лунната орбита: 0,055

Маса на Земята: $5{,}97.10^{24}$ kg

Орбитален период на Луната: 27,32 d

Отговори

Решение

Решение:

А) Построяваме ръба на земния диск като екстраполираме по слабо осветения ръб на Земята. Измерваме диаметрите на Земята и на Слънцето по изображението. Отношението им дава отношението на ъгловите размери, гледано от наблюдателя:

\frac{\delta_E}{\delta_S} = 4{,}77

Кадърът 2001: A SPACE ODYSSEY с построения: диаметърът на Слънцето е означен с δS, а земният диск е допълнен до окръжност, чийто диаметър е означен с δE.

Тъй като наблюдателят е близо до Земята, разстоянието от него до Слънцето е приблизително $r_S$ = 1AU = $149{,}6.10^{6}$ km. Ъгловият размер на обект с радиус R на значително по-голямо разстояние r е

\delta = \frac{2R}{r}

Заместваме горе и получаваме

\frac{2R_E}{2R_S}\frac{r_S}{r_E} = 4{,}77

Използваме радиусите на Земята и Слънцето $R_E$ = 6370 km, $R_S$ = 696 000 km и получаваме разстояние от наблюдателя до до Земята $r_E$ = 287 000 km.

Средното разстояние до Луната (голяма полуос $a_L$ = 384400 km) в перигей е

r_P = a_L(1 - e) = 363300\ \mathrm{km}

Ако Слънцето, Земята, наблюдателят и Луната са приблизително на една права, то Луната е 363300 – 287000 = 76300 km зад наблюдателя. (5т.)

Б) Ако наблюдателят е на кръгова орбита с радиус $r_E$ = 287 000 km, можем да запишем III Закон на Кеплер, сравнявайки с Луната:

\frac{{r_E}^{3}}{{T_E}^{2}} = \frac{{a_L}^{3}}{{T_L}^{2}}

Използваме орбиталния период на Луната $T_L$ = 27,32 d и получаваме $T_E$ = 17,62 d.

Синодичният период за Земя-Луна-наблюдател е $T_{SYN}$ и

\frac{1}{T_E} = \frac{1}{T_L} + \frac{1}{T_{SYN}}

Получаваме период на повтаряне на конфигурацията $T_{SYN}$ = 49,63 d. Ако в началния момент Луната е зад наблюдателя, то тя ще застане зад Земята след време 1/2 $T_{SYN}$ = 24,8 d. (4т.)

В) По формулите и данните в А) можем да измерим, че видимият ъглов размер на диска на Слънцето е 0,53°. Мащабираме и измерваме с колко градуса е слязла надолу Земята спрямо Слънцето между двата кадъра. Получаваме ъгъл θ = 0,235°. Тъй като Слънцето е далече, направлението към него се запазва между двата кадъра и θ ще бъде дъгата, която наблюдателят е изминал по орбитата си около Земята. Използваме периода $T_E$ , за да намерим времето t между двата кадъра

\frac{t}{T_E} = \frac{\theta}{360^{\circ}}

Получаваме t = 994 s. Това време е показано във филма за 23 секунди, следователно движението е забързано 994/23 = 43,2 пъти. (4т.)

Оригинал в Архива: 24-III-910-teor.docx · официални решения: a24-III-910-teor.docx