НОА 2024, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 10

• 2.49

  Безразмерно отношение (пъти). Официални прагове: 2:2.45-2.55; 1:2.3-2.7.

10. 2.49 2:2.45-2.55 1:2.3-2.7

Ако единият е с 50% по-голяма площ от другия, то отношението на радиусите е $(1{,}5)^{1/2}$, а на обемите (и на масите, тъй като плътността е еднаква) – $(1{,}5)^{3/2}$. След като са с еднаква кинетична енергия, то е константа

$\frac{mv^2}{2} = \frac{GMm}{2r}$

Оттук m/r е константа, т.е. отношението на радиусите на орбитите също е $(1{,}5)^{3/2}$. По трети закон на Кеплер отношението на периодите е тази стойност на степен 3/2, т.е.

$1{,}5^{1{,}5^{1{,}5}} = 2{,}49$