Съдържание

НОА 2024, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Тройна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. http://astro-olymp.org. Подборен кръг, 9 юли 2024 г., Варна, теоретичен тур. Младша възраст · 9 юли 2024 г. · 15 т.

Условие

Една звездна система се състои от три звезди, които се движат около общия център на масите. Те имат еднакви радиуси, но различни температури. Зрителният лъч от земния наблюдател лежи точно в орбиталната равнина на звездите, т.е. те могат да се закриват плътно една друга при наблюдение от Земята. Нека да означим звездите с $A$ , $B$ и $C$ . Известно е, че когато звездата $A$ закрива напълно звездата $B$ , сумарната звездна величина на системата е $m_1 = 4^{\mathrm{m}}.87$ . Когато $A$ закрива плътно $C$ , системата има звездна величина $m_2 = 4^{\mathrm{m}}.76$ . Когато се наблюдават и трите компоненти, системата има блясък $m = 4^{m}.51$ .

А) Намерете звездната величина на системата $m_3$ , в момент, когато звездата $B$ закрива плътно звездата $A$ . [10 т.]

Б) Определете индивидуалните звездни величини на трите звезди $m_{\mathrm{A}}$ , $m_{\mathrm{B}}$ и $m_{\mathrm{C}}$ . [5 т.]

Решение

Решение.

а) Нека да означим осветеностите, които се създават от трите звезди с $E_A$ , $E_B$ и $E_C$ , а общата осветеност с $E$ . Когато звездата $A$ закрива изцяло $B$ , то осветеността създавана от системата е:

E_1 = E_A + E_C.

Във втория случай, когато $C$ е напълно закрита от $A$ , осветеността е

E_2 = E_A + E_B.

А когато виждаме всички звезди, те създават осветеност

E = E_A + E_B + E_C.

В случая, за който се пита в това подусловие, осветеността е

E_3 = E_B + E_C.

Нека въведем следните означения:

X = \frac{E_B}{E_A} \quad \text{и} \quad Y = \frac{E_C}{E_A}.

Използвайки $X$ и $Y$ , можем да запишем осветеностите така:

E_1 = (Y+1)E_A,\ E_2 = (X+1)E_A,\ E = (1+X+Y)E_A,\ E_3 = (X+Y)E_A.

Използвайки закона на Погсън:

\frac{E}{E_1} = \frac{1+X+Y}{Y+1} = 10^{0.4(m_1 - m)} = 1.393 \equiv a.

\frac{E}{E_2} = \frac{1+X+Y}{X+1} = 10^{0.4(m_2 - m)} = 1.259 \equiv b.

След изразяване на някое от двете неизвестни от едното уравнение и заместването му в другото, получаваме:

X = \frac{b(a-1)}{a+b-ab} \approx 0.551, \quad Y = \frac{a(b-1)}{a+b-ab} \approx 0.402.

Отново записвайки закона на Погсън:

\frac{E_3}{E_2} = \frac{X+Y}{X+1} = 10^{0.4(m_2 - m_3)},

откъдето:

m_3 = m_2 - 2.5\lg\left(\frac{X+Y}{X+1}\right) \approx \mathbf{5^{m}.29}.

б) От закона на Погсън имаме, че

\frac{E}{E_A} = 1 + X + Y = 10^{0.4(m_A - m)}.

Оттук следва, че

m_A = m + 2.5\lg(X+Y+1) \approx \mathbf{5^{m}.24}.

Също така, можем да използваме, че

X = \frac{E_B}{E_A} = 10^{0.4(m_A - m_B)} \ \text{и}\ Y = \frac{E_C}{E_A} = 10^{0.4(m_A - m_C)}.

Получаваме

m_B = m_A - 2.5\lg X \approx \mathbf{5^{m}.88},

m_C = m_A - 2.5\lg Y \approx \mathbf{6^{m}.23}.

Никола Каравасилев

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

а) – За правилна математическа постановка за намиране на звездната величина – 4 т.

– За правилни преобразования и получен краен израз – 4 т.

– За правилна числена стойност – 2 т.

б) – За правилно математическо изразяване на търсените звездни величини и верни крайни буквени изрази – 3.5 т.

– За верни числени отговори – 1.5 т.

Оригинал в Архива: 24-IV-teorML.pdf · официални решения: a24-IV-teorML.pdf