Съдържание

НОА 2024, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Плътност на Земята

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. http://astro-olymp.org. Подборен кръг, 9 юли 2024 г., Варна, теоретичен тур. Младша възраст · 9 юли 2024 г. · 15 т.

Условие

Меги и Дона са станали професионални астрономи. Като истински астрономи, те обичат приключенията, и се намират съответно на северния и южния полюс на Земята. Меги вижда, че Луната започва да залязва (най-долната точка от лунния диск докосва хоризонта) за нея точно в 0h 00m UT, и изпраща съобщение за това на Дона по Viber. От своя страна Дона нетърпеливо очаква да види изгрева на Луната, но той започва (за Дона най-горната точка от лунния диск докосва хоризонта) чак … в 8h 46m UT. Дона ентусиазирано отговаря на Меги, че Луната е започнала да изгрява. След кратък размисъл Меги и Дона откриват, че използвайки само това измерване и някои справочни данни, те могат да изчислят плътността на Земята. Направете това и вие!

Не отчитайте рефракцията на светлината. Приемете, че Луната може да се види ясно дори на полюса на който в този момент е ден, а също и че нейната орбита лежи в равнината на еклиптиката.

Справочни данни:

Гравитационна константа – $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}m^{3}s^{-2}}$

Сидеричен период на Луната – $T_{SID} = 27.3\ \mathrm{d}$

Наклон на земната ос – $\varepsilon = 23^{\circ}26'$

Решение

Решение.

Между началото на залеза на северния полюс и началото на изгрева за южния полюс трябва да измине интервал от време $\Delta t = 8.77\ \mathrm{h}$ . Причината за това е значителният физически размер на Земята. Положенията в пространството на равнините на хоризонта при двата полюса се разминават. В началния момент Луната тъкмо ще докосва едната равнина за първи път, а в крайния момент тя тъкмо ще докосва другата.

По условие лунната орбита лежи в равнината на еклиптиката. Това означава, че орбитата сключва ъгъл $\varepsilon = 23^{\circ}26'$ с екваториалната равнина на Земята. Тя ще сключва на практика същия ъгъл и с равнините на хоризонта при полюсите, защото земният радиус е много малък спрямо радиуса на лунната орбита.

Отделно от това, преместването на Луната по орбитата ѝ за интервала $\Delta t$ е сравнително малко спрямо пълния ѝ орбитален период, така че можем да приближим, че то става по отсечка (казано по друг начин, кривината на орбитата е пренебрежима в кратки интервали от време). Геометричната постановка на задачата е показана на чертежа:

Схема: Земята с отбелязани полюси N и S, две хоризонтални ивици (равнините на хоризонта при полюсите) и наклонена под ъгъл ε лунна орбита; положенията на Луната са отбелязани с 0:00 (горе ляво) и 8:46 (долу дясно); стрелка с надпис „движение под ъгъл ε“.

Нека отсечката на преместване на Луната има дължина $l$ . Луната се придвижва между две хоризонтални равнини на разстояние два земни радиуса $R_E$ една от друга, тоест компонентата на $l$ по направление на линията $NS$ има дължина $2R_E$ . Така $l\sin\varepsilon = 2R_E$ . Приемайки лунната орбита за кръгова с радиус $r$ , можем да образуваме пропорцията

\frac{l}{2\pi r} = \frac{\Delta t}{T_{SID}}.

Оттук изразяваме $r = \frac{R_E}{\pi\sin\varepsilon}\frac{T_{SID}}{\Delta t}$ . Ако пренебрегнем масата на Луната, третият закон на Кеплер дава следната връзка между $r$ и масата на Земята $M_E$ :

\frac{r^3}{T_{SID}^2} = \frac{GM_E}{4\pi^2}.

След заместване на формулата ни за $r$ достигаме до

\frac{M_E}{R_E^3} = \frac{4T_{SID}}{\pi G\,\Delta t^3 \sin^3\varepsilon}.

Но плътността на Земята се задава с $\rho_E = \frac{M_E}{\frac{4}{3}\pi R_E^3}$ , откъдето

\rho_E = \frac{3T_{SID}}{\pi^2 G\,\Delta t^3 \sin^3\varepsilon} = \mathbf{5400\ kg/m^3}.

Реалната стойност е $\rho_E = 5510\ \mathrm{kg/m^3}$ . Идеята за намиране на времето $\Delta t$ между залеза и изгрева на Луната идва от известната задача IAO 2001-β5 (авт. Ева Божурова).

Никола Каравасилев, реш. Стефан Иванов

Редакция на темата: Стефан Иванов, Ева Божурова

Оригинал в Архива: 24-IV-teorML.pdf · официални решения: a24-IV-teorML.pdf