НОА 2024, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Неразделена двойна звезда

• А) 2.77 M☉

  $M_1 + M_2 = 2.77 \pm 0.08\ M_\odot$ (интервал от 2.68 до 2.85 $M_\odot$).

• Б) 0.86 °

  Максимален възможен наклон $i = \arcsin(0.15/10.0) = 0.86^{\circ}$.

• В) 6.7 Gyr

  Най-рано след $8.5 - 1.8 = 6.7$ Gyr.

• Г) 38.1 mag

  Болометрична 37.85, с болометрична корекция около 0.26 mag — около 38.1.

• Д) K5

  $E(B - V) = 0.93$, $(B - V) = 1.10$ — характерно за K5 звезди.

Решение.

а) Вторичната компонента е от спектрален клас G, който заема сравнително тесен интервал от маси: от $0.88\ \mathrm{M_\odot}$ до $1.10\ \mathrm{M_\odot}$. По дадената зависимост

светимостите на звезда от клас G на главната последователност трябва да варират в интервал от $0.6\ \mathrm{L_\odot}$ до $1.5\ \mathrm{L_\odot}$. Изваждаме я от светимостта на системата и получаваме, че светимостта на главната компонента е между $10.1\ \mathrm{L_\odot}$ и $11.0\ \mathrm{L_\odot}$ Прилагаме отново зависимостта, но за главната компонента и получаваме възможен интервал от маси $1.75\ \mathrm{M_\odot}$ до $1.80\ \mathrm{M_\odot}$.

Сумираме комбинациите от минимална и максимална стойности за масите на компонентите и получаваме маса на системата от $2.68\ \mathrm{M_\odot}$ до $2.85\ \mathrm{M_\odot}$. За целите на следващите подусловия ще ползваме средните стойности $M_1 = 1.78\ \mathrm{M_\odot}$, $M_2 = 0.99\ \mathrm{M_\odot}$ и $\boldsymbol{M_1 + M_2 = 2.77 \pm 0.08\ \mathrm{M_\odot}}$.

б) В условието се иска коментар за наклона, подкрепен с количествени разсъждения. За улеснение ще ги правим за кръгови орбити. Максималният възможен наклон на системата е в случай с минимална орбитална скорост, т.е. при най-голяма възможна орбита. Дифракционната разделителна способност на телескопа Хъбъл в синия край на оптичния диапазон (дължина 380 nm) е

Разстоянието между компонентите е максимум

На такова разстояние при кръгови орбити относителната скорост на компонентите една спрямо друга е

Скоростта на маломасивната компонента е

Ако спектрографът регистрира радиални скорости до $300\ \mathrm{m/s}$, то радиалната компонента на $v_2$ достига не повече от $150\ \mathrm{m/s} = 0.15\ \mathrm{km/s}$. Максималният възможен наклон на системата е

в) От зависимостта $L \propto M^{4.1}$ и съображението за време на живот на Главната последователност $t_{\mathrm{MS}} \propto M/L$ извеждаме приблизителната формула за звезда с маса близо до тази на Слънцето

По тази формула $t_{\mathrm{MS}}$ за главната компонента (минимална възможна маса 1.75 слънчеви) е 1.8 Gyr. Това е и максималната възможна настояща възраст на системата, тъй като главната компонента по условие е на главната последователност.

Времето за престой на вторичната компонента при максимална маса 1.10 слънчеви е 7.5 Gyr. На тази възраст на системата главната компонента вече ще е бяло джудже, а вторичната ще излиза от главната последователност. След около още 10% от живота си, на възраст около 8.5 Gyr, вторичната компонента също ще е бяло джудже. Това е най-рано след време 8.5 – 1.8 = 6.7 Gyr.

г) Галактика на червено отместване $z = 0.033$ е на разстояние

Модулът на разстоянието за галактиката е

С 11.6 слънчеви светимости абсолютната звездна величина на системата е

Видимата болометрична звездна величина е 35.75+2.08 = 37.85. Ако приложим болометричната корекция (около 0.26 mag от температурата в Д)), получаваме звездна величина около 38.1 – над 600 пъти по-слабо от най-слабите звезди, които Хъбъл регистрира.

д) Търсим наблюдавания от Земята цветови индекс $B - V$ (след почервеняване). По-голямата част от светимостта на обекта идва от главната компонента, така че тя определя цвета на обекта. По дадената зависимост

определяме радиус на главната компонента $1.59\ \mathrm{R_\odot}$. По закона на Стефан-Болцман

определяме температура на главната компонента 8260 K, което съответства на спектрален клас A5 – A6, който има $(B - V)_0 = 0.17$ и болометрична корекция –0.26. Оттук нататък ще работим за системата като едно цяло.

По паралакса намираме разстоянието $r$, а от него – модула на разстоянието до Земята:

Непочервенената болометрична звездна величина е 7.04 + 2.08 = 9.12 mag. След прилагане на болометричната корекция и цветовия индекс получаваме видима звездна величина при нулева екстинкция $B_0 = 9.26 + 0.26 + 0.17 = 9.55\ \mathrm{mag}$. Поглъщането във филтър B е $A_B = 13.35 - 9.55 = 3.8$. От дадената формула за пълно към селективно поглъщане обработваме и получаваме

Заместваме и получаваме цветови ексцес $E(B - V) = 0.93$. Прилагаме към цветовия индекс за спектралния клас $(B - V)_0 = 0.17$ и получаваме $(B - V) = 1.10$, характерно за K5 звезди. Звездата е бяла, но изглежда оранжева.

Александър Куртенков