НОА 2024, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Астрометрия

• А) 7 май (2045 г.)

  $\eta = 45.07^{\circ}$; датата е $\frac{\eta}{360^{\circ}} \cdot 365.25$ d преди 21 юни.

• Б) 394 pc

  $\pi_A = 2.536$ mas, $r_A \approx 394$ pc.

Решение.

а) Северният еклиптичен полюс има координати $\left(18^{\mathrm{h}};\ (90^{\circ} - \varepsilon)\right)$, където $\varepsilon$ е наклонът на еклиптиката спрямо небесния екватор. Видно е, че координатите на звездата са много близки до това. Ако паралаксът на звезда е $\pi$, паралактичната ѝ елипса има голяма и малка полуос съответно $\pi$ и $\pi\sin\beta$, където $\beta$ е модул на еклиптичната ширина. Затова паралактичните елипси на звездите в околността на праховия облак са на практика окръжности.

Както е видно от схемата, движението на звездите с $\beta > 0$ по паралактичните им елипси става по часовниковата стрелка. Също забелязваме, че звездите достигат точката от паралактичната елипса, имаща максимална деклинация, в деня на лятно слънцестоене за северното полукълбо.

Информацията дотук позволява да определим мястото на звезда по паралактичната ѝ елипса (окръжност) в зависимост от датата. Завъртане на ъгъл $\theta$ по часовниковата стрелка спрямо “основната линия” отговаря на дата, намираща се на $\frac{\theta}{360^{\circ}} \cdot 1\ \mathrm{yr}$ след момента на лятно слънцестоене за северното полукълбо:

С течение на годината направлението на вектора $\vec{v}$, свързващ звездата и центъра на паралактичната ѝ елипса, се променя по аналогичен начин (въртене по окръжност). Така дори и да не знаем паралакса на дадена звезда, можем все пак да намерим в какво направление спрямо звездата се намира центърът на паралактичната ѝ елипса.

Да разгледаме трите наблюдения на звездата, която означаваме с A. Преместването на звездата между наблюденията е резултат едновременно от движението на звездата по окръжност поради паралакс и собственото ѝ движение $\mu$. За момента не знаем направлението на $\vec{v}$ за никое от наблюденията. Забелязваме, обаче, че между всеки две наблюдения $\vec{v}$ трябва да се е завъртял с $90^{\circ}$ по часовниковата стрелка.

С времето центърът на паралактичната елипса на A се движи по небето единствено в резултат на собственото движение на A, тоест траекторията му е права линия. При първото наблюдение той лежи на $l_1$, при второто – на $l_2$, при третото – на $l_3$. При това той е постоянно на едно и също ъглово разстояние от A, равно на паралакса ѝ $\pi_A$.

Горната схема указва ъглови размери, поради което разликите $\alpha$ в ректасцензията са коригирани с множител косинус деклинацията на областта, в която се наблюдава (вж. чертежа). На схемата е използвано, че посоката на нарастване на ректасцензията е “на $90^{\circ}$ наляво” от тази на нарастване на деклинацията. Това може да се провери с чертеж на небесна сфера.

Нека центърът на паралактичната окръжност е първоначално в точка $O_1$ от $l_1$, а при последното наблюдение е в точка $O_3$ от $l_3$. Тъй като $A_1O_1$ и $A_3O_3$ са успоредни и равни, фигурата $A_1O_1A_3O_3$ трябва да е успоредник. Той ще има диагонали $A_1A_3$ и $O_1O_3$, които се разполовяват взаимно. Това означава, че $A_1A_3$ се разполовява от средата на $O_1O_3$. Но тази среда представлява $O_2$, центърът на паралактичната елипса на A по време на второто наблюдение. Точката $O_2$ обаче лежи на $l_2$. С това доказахме, че правилното направление на $l_1, l_2, l_3$ е такова, че средата на $A_1A_3$ лежи на $l_2$.

Сега можем да възстановим положенията на $O_1$ и $O_3$, използвайки, че $A_1O_1 = A_2O_2 = A_3O_3$. Ъгъла $\eta$ на чертежа може да намерим, разглеждайки $O_2$ и $A_2$:

Ако се върнем на $A_1$, виждаме, че векторът $\vec{v}$ се е завъртял по часовниковата стрелка на ъгъл $360^{\circ} - \eta$ спрямо положението, съответстващо на лятно слънцестоене за северното полукълбо (вертикалната пунктирана линия). Датата на първото наблюдение, когато е станало избухването, е $\frac{\eta}{360^{\circ}} \cdot 365.25\ \mathrm{d}$ преди 21 юни. Резултатът е 7 май.

б) Паралаксът на звездата е ъгловото отстояние между $A_2$ и $O_2$:

Разстоянието до звездата тогава е

Крайният отговор на задачата$^1$ е даден с брой значещи цифри, съответстващ на точността на астрометрията.

Стефан Иванов

Бележки.

$^1$ Данните, които имаме, могат да ни доведат до още резултати, например тангенциалната скорост на звездата. За целта са нужни още няколко пресмятания. Ъгъла $\iota_A$ на горната схема намираме, разглеждайки $A_1$ и $A_3$.

За ъгловото отстояние $\kappa$ между $A_1$ и $O_2$ пресмятаме:

Отсечката $O_1O_2$ представлява преместването на центъра на паралактичната елипса за четвърт година. Дължината ѝ намираме с косинусова теорема в триъгълника $AO_1O_2$ със страни $\kappa_A, \pi_A$ и ъгъл между тях $\iota - \eta$:

Собственото движение на A следователно е $\mu = \frac{4\chi}{1\ \mathrm{yr}} = 4.239\ \mathrm{mas/yr}$. Тангенциалната скорост тогава се задава с $v_\tau = \mu r_A = 7.92\ \mathrm{km/s}$. Това е сравнително малка стойност.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

а), б) – За разпознаване на близостта до еклиптичния полюс и извод, че паралактичната елипса става окръжност – 2 т.

– За описан метод, по който може да се вземе датата на наблюдение – 3 т. (за указано положение по окръжността във фиксиран момент, например лятно слънцестоене, 1 т. ; за идея да се отчита ъгъла на преместване по окръжността спрямо това положение 1 т. ; за правилна посока на движение по окръжността 1 т.**)

– За съобразяване, че центърът на паралактичната окръжност във втората нощ е по средата на положенията на звездата в първата и третата нощ – 4 т.

– За изчисляване на ъгъла $\eta$ или еквивалентно пресмятане – 2 т. (при неотчетен множител косинус за ректасцензията 1 т. )

– За датата на първото наблюдение – 1 т.

– За изразяване на паралакса – 2 т. (при неотчетен множител косинус за ректасцензията 1 т.**)

– За числена стойност на разстоянието до звездата – 1 т. (толерира се $\pm 1$ значеща цифра)

Редакция на темата: Стефан Иванов