Съдържание

НОА 2025, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · I кръг · Ученици от 11-12 клас · 10 т.

Бележка

Задачите можете да решавате сами вкъщи или да ги обсъждате със съученици и приятели. За решаването на някои от тях ще са ви нужни числени данни, които не са дадени в условията. Ще ви потрябват знания, които не се учат в училище, или пък ще срещнете думи, чието значение може би не знаете. Потърсете необходимата информация в книги, учебници, интернет. Обърнете се за помощ към вашите учители.
Но все пак имайте предвид: Писмени работи с цели пасажи от текст, копирани от Интернет, преписани буквално от книги или повтарящи се с други писмени работи, ще бъдат анулирани! Писмените работи трябва да са подготвени самостоятелно. В тях всичко прочетено и научено трябва да обясните с ваши оригинални мисли.
Обяснявайте вашите отговори!

Условие

Задача 2. Резонанс 51:26. Две планети в Слънчевата система имат отношение на орбиталните периоди около Слънцето 51:26. Нека да обозначим по-вътрешната планета с X, а по-външната – с Y. Приемете орбитите на планетите за кръгови.

А) Планета Y е в опозиция за планета X и се намира в дадено положение на фона на звездите по небето за наблюдател на планета X. На колко градуса от това положение ще бъде Y в следващата си опозиция? При опозиция обектите Слънце-X-Y лежат на една права, в този ред. [3 т.]

Б) Колко пъти по-ярко е Слънцето в небето на планета X, отколкото в небето на планета Y? [2 т.]

В) С колко процента трябва да увеличим радиуса на орбитата на планета Y, така че отношението на периодите да стане 2:1? [3 т.]

Г) Кои са двете планети и какви са орбиталните им периоди в години? Може да проверите в интернет, но не използвайте допълнителна информация за решаването на предните подусловия. [2 т.]

Решение

А) За синодичния период на повтаряне на конфигурацията Слънце-X-Y е в сила равенството

\frac{1}{T_X} = \frac{1}{T_Y} + \frac{1}{T_{SYN}},

където $T_X$ и $T_Y$ са орбиталните периоди на двете планети. Знаем, че $T_Y = \left(\frac{51}{26}\right)T_X$ . Решаваме уравнението и получаваме

T_{SYN} = \frac{T_Y T_X}{T_Y - T_X} = \frac{51}{25}T_X = \frac{26}{25}T_Y.

Това означава, че за един синодичен период (времето между две опозиции) планетата X е направила два цели оборота по орбитата си + 1/25 от оборот, а планетата Y – един цял оборот + 1/25 от оборот. Следователно ъгълът на завъртане на направлението Слънце-X-Y спрямо звездите между двете опозиции е 1/25 от кръга или $(360/25)^{\circ} = 14{,}4^{\circ}$ .

Б) Ако радиусите на орбитите са $r_X$ и $r_Y$ , то по III закон на Кеплер

\frac{r_X}{r_Y} = \left(\frac{T_X}{T_Y}\right)^{2/3} = \left(\frac{26}{51}\right)^{2/3}.

Отношението на осветеностите, които Слънцето създава на планета X и на планета Y е

\frac{\Phi_X}{\Phi_Y} = \left(\frac{r_Y}{r_X}\right)^2 = \left(\frac{T_Y}{T_X}\right)^{4/3} = \left(\frac{51}{26}\right)^{4/3} = 2{,}455.

Слънцето ще бъде 2,455 пъти по-ярко в небето на планета X.

В) Отношението на сегашните радиуси на орбитите на планетите е

\frac{r_Y}{r_X} = \left(\frac{T_Y}{T_X}\right)^{2/3} = \left(\frac{51}{26}\right)^{2/3} = 1{,}5670.

Ако увеличим $r_Y$ до $r_{Y2}$ , така че планетите да са в резонанс 2:1, то

\frac{r_{Y2}}{r_X} = \left(\frac{T_{Y2}}{T_X}\right)^{2/3} = (2)^{2/3} = 1{,}5874.

Това е увеличение на орбитата с $(1{,}5874/1{,}5670) = 1{,}0130$ пъти, т.е. с 1,3%.

Г) Двете планети са Уран и Нептун. Орбиталният период на Нептун е 164,79 yr, а този на Уран е 84,02 yr. Отношението им е 1,961 = 51/26.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):
А) Общо – 3 т.
Б) Общо – 2 т.
В) Общо – 3 т.
Г) Общо – 2 т.

Бележка

Разгледайте страницата на олимпиадата в интернет: http://astro-olymp.org
В нея ще видите изображенията в тези задачи с много по-добро качество, отколкото на напечатаните на лист текстове.
Можете да видите и задачите за всички кръгове на последните няколко астрономически олимпиади заедно с техните решения. В раздела, наречен „Пищов“, има информация, която ще ви помогне да решавате астрономически задачи. Засега тази информация е изложена във вид, който е подходящ повече за учениците от VII до XII клас.
Решенията на задачите предайте на вашите учители по предмета Човекът и природата за V-VI клас, или по физика за VII-XII клас.

Краен срок за предаване на решенията – 17 януари 2025 г.

Оригинал в Архива: 25-I-1112.pdf · официални решения: a25-I-1112.pdf