Съдържание

НОА 2025, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · I кръг · Ученици от 11-12 клас · 10 т.

Бележка

Задачите можете да решавате сами вкъщи или да ги обсъждате със съученици и приятели. За решаването на някои от тях ще са ви нужни числени данни, които не са дадени в условията. Ще ви потрябват знания, които не се учат в училище, или пък ще срещнете думи, чието значение може би не знаете. Потърсете необходимата информация в книги, учебници, интернет. Обърнете се за помощ към вашите учители.
Но все пак имайте предвид: Писмени работи с цели пасажи от текст, копирани от Интернет, преписани буквално от книги или повтарящи се с други писмени работи, ще бъдат анулирани! Писмените работи трябва да са подготвени самостоятелно. В тях всичко прочетено и научено трябва да обясните с ваши оригинални мисли.
Обяснявайте вашите отговори!

Условие

Задача 3. Двойници на Омега Кентавър. Омега Кентавър (NGC 5139) е най-големият кълбовиден звезден куп в нашата галактика, с радиус 26 парсека и маса 4 милиона слънчеви маси. Омега Кентавър е на разстояние от нас 4840 парсека и видимата му звездна величина е 3,9 $^m$ (интегрално за цялата му площ по небето).

Справочни данни:
$1\ \mathrm{pc} = 206265\ \mathrm{au}$ , $1\ \mathrm{au} = 149{,}6 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$
Гравитационна константа – $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$
Константа на Хъбъл – $H_0 = 70\ (\mathrm{km/s})/\mathrm{Mpc}$

А) Каква би била звездната величина на двойник на Омега Кентавър, ако той се намира в галактиката NGC 3628 на разстояние 11 милиона парсека от нас в съзвездието Лъв? Междузвездното поглъщане да се пренебрегне. [3 т.]

Б) Друг двойник на Омега Кентавър е много далече от центъра на галактиката, към която принадлежи. Около него, на постоянно разстояние 200 парсека обикаля друг малък звезден куп. За какво време малкият звезден куп ще прави една пълна обиколка около двойника на Омега Кентавър? [3 т.]

В) Космическият телескоп Хъбъл има диаметър на главното огледало 2,4 метра. На какво максимално червено отместване може с телескопа Хъбъл да се различи от звезда (т.е. да се види не като точков, а като протяжен обект) двойник на Омега Кентавър в червения филтър F689M на този телескоп, пропускащ светлина с дължина на вълната 689 nm? [4 т.]

Решение

А) По формулата на Погсън

m_1 - m_2 = -2{,}5\lg\left(\frac{\Phi_1}{\Phi_2}\right),

където $m_1$ и $m_2$ са звездните величини, $\Phi_1$ и $\Phi_2$ са светлинните потоци на единица площ, създадени от купа на разстояния $r_1$ и $r_2$ . Също така,

\frac{\Phi_1}{\Phi_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2

Заместваме и получаваме

m_2 - m_1 = 5\lg\left(\frac{r_2}{r_1}\right)

Нека наблюдение 1 да е на Омега Кентавър, а наблюдение 2 да е на двойника му в NGC 3628. Тогава $m_1 = 3{,}9$ , $r_1 = 4840$ pc, $r_2 = 1{\cdot}10^6$ pc. Заместваме в последната формула и получаваме звездна величина $m_2 = \mathbf{20{,}7}$ .

Б) В случая имаме кръгова орбита с радиус

r = 200\ \mathrm{pc} = (200 \cdot 206265 \cdot 149{,}6 \cdot 10^9)\ \mathrm{m} = 6{,}1714\cdot 10^{18}\ \mathrm{m}

около тяло с маса $M = 4\cdot 10^6\ M_\odot = 8\cdot 10^{36}\ \mathrm{kg}$ . По III закон на Кеплер намираме орбиталния период $T$ :

\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2},

T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{GM}} = 4{,}17\cdot 10^{15}\ \mathrm{s} = \mathbf{132\cdot 10^6\ yr}.

Периодът от 132 милиона години е сравним с периодите на въртене на галактиките. За такова време галактиката би повлияла значително на орбитата на малкия куп. Подобна система би била устойчива само на много голямо разстояние от галактиката, където кълбовидните купове са рядкост. При по-малка орбита и по-малък период радиусът на орбитата вече става сравним с размера на централния куп. Поради такива съображения, двойни кълбовидни купове на практика почти не се наблюдават.

В) Космическият телескоп Хъбъл е извън атмосферата, поради което разделителната му способност е ограничена само от дифракцията и може да се оцени по формулата

\theta = 1{,}22\frac{\lambda}{D}.

За дължина на вълната $\lambda = 689\ \mathrm{nm}$ и диаметър на огледалото $D = 2{,}4\ \mathrm{m}$ получаваме $\theta = 3{,}5\cdot 10^{-7}\ \mathrm{rad} = 0{,}072''$ . Това е минималното ъглово разстояние, на което ще разделим два точкови обекта в полето на зрение. Ако приложим това за двата видими края на купа като условие той да бъде наблюдаван като площен обект, то купът трябва да има ъглов размер с минимална стойност $\theta$ . От радиуса $R = 26\ \mathrm{pc}$ намираме максималното възможно разстояние за целта:

r_{\max} = \frac{2R}{\theta} = 148\ \mathrm{Mpc}.

Това не е голямо космологично разстояние (над ~1000 Mpc), поради което можем да комбинираме закона на Хъбъл с класическата формула за ефекта на Доплер:

v_R = H_0 r_{\max}, \quad z = v_R/c.

Получаваме червено отместване

z = \frac{H_0 r_{\max}}{c} = 0{,}035.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):
А) Общо – 3 т.
Б) Общо – 3 т.
В) Общо – 4 т.

Бележка

Разгледайте страницата на олимпиадата в интернет: http://astro-olymp.org
В нея ще видите изображенията в тези задачи с много по-добро качество, отколкото на напечатаните на лист текстове.
Можете да видите и задачите за всички кръгове на последните няколко астрономически олимпиади заедно с техните решения. В раздела, наречен „Пищов“, има информация, която ще ви помогне да решавате астрономически задачи. Засега тази информация е изложена във вид, който е подходящ повече за учениците от VII до XII клас.
Решенията на задачите предайте на вашите учители по предмета Човекът и природата за V-VI клас, или по физика за VII-XII клас.

Краен срок за предаване на решенията – 17 януари 2025 г.

Оригинал в Архива: 25-I-1112.pdf · официални решения: a25-I-1112.pdf