НОА 2025, I кръг (общински), 7–8 клас — Задача 4. Нептун и Плутон

Решение.

А) Орбиталният период на Нептун е 2/3 от този на Плутон:

Периодът, през който две планети повтарят взаимната си конфигурация със Слънцето, се нарича синодичен период. Можем да пресметнем синодичния период по формулата

В тази формула от лявата страна стои реципрочната стойност на най-краткия от трите периода – в случая това е периодът на Нептун. Оттук

Получава се, че синодичният период за конфигурацията Слънце-Нептун-Плутон е цял брой периоди на Нептун и Плутон, тоест за такова време и двете планети се връщат на същите точки по орбитите си. В случая можеше да съобразим това и по по-лесен начин: за времето, за което Нептун прави 3 обиколки около Слънцето, Плутон ще прави точно 2 обиколки.
Това време е $2 \cdot 248\ \mathrm{yr} = 496\ \mathrm{yr}$. Тъй като това време е малко под 500 години, в следващите 1000 години Нептун и Плутон ще повторят конфигурацията си от 2025 г. два пъти:

• през $2025 + 496 = \mathbf{2521}$ година
• през $2025 + 2\cdot 496 = \mathbf{3017}$ година

В действителност това е приближение, тъй като отношението на периодите не е точно равно на 2:3.

Б) Средното разстояние Слънце-Плутон е 39,5 au. Ексцентрицитетът на орбитата на Плутон е 0,25, т.е. минималното разстояние е с 25% по-малко от средното. То се нарича перихелийно разстояние:

Разликата между него и разстоянието Слънце-Нептун е $30{,}1 - 29{,}625 = 0{,}475\ \mathrm{au}$ или около 1,6% (тъй като $0,475/30,1 = 0,016$).

В) Орбитите в мащаб изглеждат по подобен начин (размерите на планетите са силно преувеличени на картинката):

Г) Орбитите не се пресичат в пространството поради това, че не лежат в една и съща плоскост. Орбитата на Нептун е наклонена само на 1,8° спрямо земната орбита, докато наклонът на орбитата на Плутон е цели 17°. Затова двете планети не могат да се ударят.
Погледнато отстрани, орбитите изглеждат така:

Критерии за оценяване (общо 10 т.):
А) Общо – 3 т.
Б) Общо – 2 т.
В) Общо – 3 т.
Г) Общо – 2 т.