НОА 2025, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 2. Кълбовидният звезден куп М54

• А) $5.1 \times 10^{18}$

  Средната плътност на купа е около $2{,}357.10^{-19}\ \mathrm{kg/m^3}$, т.е. около $5{,}1.10^{18}$ пъти по-малка от плътността на въздуха.

• Б) 12 arcmin

• В) Напр. Голям Магеланов облак, Малък Магеланов облак, Antlia 2, Crater 2, Canis Major Dwarf, Canes Venatici I, Sculptor Dwarf.

• Г) През летните месеци: юни, юли, август, септември.

• Д) Юпитер и Сатурн (радиусът на черната дупка е около 28200 km).

Решение.

А) Формулата за обем на сфера с радиус $R$ е

Приемаме, че купът е сферичен, с маса $M$, и пресмятаме неговата средна плътност:

Превръщаме масата на купа в килограми: $M = (1{,}5.10^6)\cdot(2.10^{30})\ \mathrm{kg} = 3.10^{36}\ \mathrm{kg}$.
Скоростта на светлината във вакуум е $c = 300\,000\ \mathrm{km/s} = 3.10^8\ \mathrm{m/s}.$ Светлинната година е пътят, изминат от светлината за 1 година, което се равнява на $365{,}25\ .\ 24\ .\ 3600$ секунди. Така превръщаме радиуса на купа в метри:

Заместваме във формулата за плътност и получаваме $\rho = 2{,}357.10^{-19}\ \mathrm{kg/m^3}$. Това е $\mathbf{5{,}1.\ 10^{18}}$ пъти или 5,1 милиарда милиарда пъти по-ниска плътност от тази на въздуха в стайни условия. Въпреки че звездният куп съдържа няколко милиона звезди и има огромна маса, той има ниска средна плътност заради огромното пространство, което заема.

Б) Видимият ъглов размер на обект с радиус $R$ на голямо разстояние $r$ е

В) Най-масивните две галактики-спътници на Млечния път са Голям Магеланов облак и Малък Магеланов облак.

Други галактики-спътници на Млечния път са: Antlia 2, Sagittarius Dwarf, Crater 2, Canis Major Dwarf, Canes Venatici I, Sculptor Dwarf и т.н., общо над 35 малки галактики, включително галактики-джуджета в съзвездията Водна помпа, Скулптор, Стрелец, Чаша, Голямо куче, Ловджийски кучета, Лъв, Дракон, Херкулес и други.

Г) Купът M54 има отрицателна деклинация ($-30^{\circ}$) и се намира в лятното съзвездие Стрелец (ректасцензия $\sim 19^{\mathrm{h}}$). Може да се наблюдава единствено в летните месеци: юни, юли, август, септември.

Д) По формулата $R = (M/M_{\odot}) \times 3\ \mathrm{km}$ пресмятаме радиуса на черната дупка в купа: $9400.3\ \mathrm{km} = 28200\ \mathrm{km}$. По-големи от нея са Юпитер (среден радиус 69 900 km) и Сатурн (среден радиус 58200 km). По-малки са останалите планети, включително Уран (радиус 25 400 km) и Нептун (радиус 24 600 km).

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) Общо – 2 т.

Б) Общо – 2 т.

В) Общо – 2 т. (4 × 0,5 т. за всяка галактика)

Г) Общо – 2 т.

Д) Общо – 2 т.