НОА 2025, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 3. Пръстените на Сатурн

• А) От северния полюс до паралела с 68° северна ширина и от южния полюс до паралела с 68° южна ширина.

  Стойността зависи от измерванията върху снимката; официалното решение получава $\varphi \approx 68^{\circ}$.

• Б) 5000 km

  Приблизителна стойност от графично измерване (PC = 3.5 mm, PP’ = 76 mm, полярен диаметър 108728 km).

Решение.

А) От крайната точка А на пръстените прекарваме права линия, допирателна към Сатурн. Тя се допира до планетата в точка D. Прекарваме втора допирателна линия от другата страна на пръстените (A’D’). Двете допирателни линии се пресичат в точка С. За наблюдатели, намиращи се в точките D и D’, крайните точки A и A’ от пръстените на Сатурн ще бъдат на хоризонта. Ако приемем, че северният полюс на Сатурн е нагоре, то точките D и D’ ще се намират на максималната северна планетографска ширина $\varphi$, от която пръстените могат да се виждат. Измерваме ъглите AOD и A’OD’. Те трябва да са равни на $\varphi$. На практика при нашия чертеж можем да не получим съвсем еднакви стойности за двата ъгъла поради неточностите при начертаването. В такъв случай намираме средната аритметична стойност. Получаваме $\varphi \approx 68^{\circ}$.

Следователно областите, от които пръстените не могат да се виждат, се простират от северния полюс на планетата до паралела с $68^{\circ}$ северна ширина и от южния полюс до паралела с $68^{\circ}$ южна ширина.

Б) Минималната височина над полюса, от която може да се вижда поне част от пръстените, трябва да се равнява на отсечката PC. Измерваме дължината на тази отсечка и диаметъра на Сатурн PP’ в милиметри и получаваме съответно 3.5 mm и 76 mm. Видът на пръстените ни показва, че оста на планетата не лежи в равнината на изображението. Но ъгълът, на който тя е наклонена към тази равнина, е малък и приблизително приемаме, че PP’ е полярният диаметър на Сатурн. Според намерената от нас информация, полярният диаметър на планетата е 108728 km. Минималната височина в километри, на която трябва да се издигнем над някой от полюсите на Сатурн, за да виждаме поне част от пръстените, ще бъде

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) За правилен теоретичен метод за определяне на областите, от които няма да се виждат пръстените – 2 т.

За точни построения и измервания – 2 т.

За верни пресмятания и описание на областите – 2 т.

Б) За правилен теоретичен метод за определяне на минималната височина над полюса на планетата, на която трябва да се издигнем – 1,5 т.

За намиране на необходимите данни и измервания – 1,5 т.

За верен числен отговор за височината – 1 т.

Поради различните мащаби на отпечатването на картинката и неточностите при измерванията учениците могат да получат леко различаващи се числени отговори и за двете подусловия. Следва най-вече да се оценяват правилните разсъждения и начинът на работа.