НОА 2025, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 4. Лунен спорт

• А) $v_0 = 0{,}5g\Delta t,\quad H = g\frac{(0{,}5\Delta t)^2}{2}$

  За примерно измерено $\Delta t = 2{,}5$ s официалното решение получава $H \approx 7{,}7$ m и $v_0 \approx 12$ m/s.

• Б) $H_L \approx 46$ m, $\Delta t_L \approx 15{,}1$ s (при $g_L \approx 1{,}62\ \mathrm{m/s^2}$ и $v_0 \approx 12$ m/s)

  Около 6 пъти по-голяма височина и 6 пъти по-дълго време на полета, отколкото на Земята.

• В) Във вакуум оценката е занижена (реалната височина е над 46 m); в база с атмосфера оценката е завишена (реалната височина е под 46 m).

Решение.

А) Означаваме с $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ земното ускорение, с $H$ височината, до която достига топката, а с $v_0$ – началната скорост, с която я изхвърляме. Топката ще достигне до максималната височина $H$ за време, равно на половината от измереното от нас време $\Delta t$. В този момент скоростта на топката ще стане равна на нула и тя ще започне да пада надолу. В сила са следните равенства:

От второто уравнение за началната скорост на изхвърляне на топката получаваме

Заместваме в първото уравнение и намираме

Да приемем, че сме измерили време $\Delta t = 2{,}5$ секунди от момента на изхвърлянето на топката до момента, в който сме я уловили при нейното падане. Тогава с последните две уравнения получаваме.

Б) Намираме нужната информация за Луната. Нейната маса е $M = 7{,}348 \times 10^{22}\ \mathrm{kg}$, а лунният радиус e $R = 1737\ \mathrm{km}$. Ускорението на силата на тежестта на лунната повърхност ще бъде

където $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\mathrm{m^3/kg.s^2}$ е гравитационната константа. Така

Можем и да не пресмятаме ускорението на силата на тежестта на Луната по този начин, а да намерим направо информация за неговата стойност.

Ако на Луната изхвърлим нашата топка със скорост $v_0$ (която зависи само от възможностите на тялото ни), то за максималната височина и времето на полета можем да пресметнем следните стойности:

Следователно, тъй като ускорението на силата на тежестта на Луната е около 6 пъти по-малко от земното ускорение, на лунната повърхност ние ще можем да изхвърлим топката на 6 пъти по-голяма височина и времето на нейния полет ще бъде 6 пъти по-дълго, отколкото на Земята.

В) 1. Лунна база във вакуум. Като междинна стъпка трябва да разберем дали изчислената от нас стойност за началната скорост на хвърляне $v_0$ е повече или по-малка от истинската $v_{0r}$. За целта е нужно да видим дали времето на движение на топката се оказва по-дълго или по-кратко спрямо времето на движение във вакуум при същата начална скорост.

Нека хвърляме топката с фиксирана начална скорост $v_{0r}$. Предварително отбелязваме, че силата на въздушно съпротивление извършва отрицателна работа върху топката, така че скоростта ѝ при улавяне е непременно по-малка от $v_{0r}$. Сега разделяме движението на топката на два етапа, издигане за време $t_1$ и спускане за време $t_2$. Първо изследваме издигането. Скоростите ще считаме за положителни, когато са насочени нагоре, и оттук нататък знака „$\Delta$“ ще запазим само за означаване на малки величини.

Записваме втория принцип на механиката при наличие на сила на съпротивление

където масата на топката е $m$, ускорението на топката е записано като $\Delta v/\Delta t$, а $f(v)$ съответства на силата на съпротивление и е винаги положителна функция. Преобразуваме уравнението до

което съпоставя дадено малко изменение на скоростта $\Delta v$ ($< 0$) със съответстващото му нужно за него малко време.

По същество процесът на издигането на топката може да се разбие на множество еднакви малки стъпки на намаляване на скоростта, поради които тя общо пада от $v_{0r}$ до $0$. Ако нямаше съпротивление, времето за една такава стъпка на намаляване на скоростта щеше да е

което е по-голямо в сравнение с резултата от по-горната формула, отчитаща сила на съпротивление. Подчертаваме, че това е вярно за коя да е от стъпките. Оттук следва, че етапът на издигане отнема по-малко време, когато има сила на въздушно съпротивление, като точната форма на тази сила всъщност е без значение.

Сега изследваме спускането. Ако има съпротивление, то спускането обхваща поредица от стъпки с намаляване на скоростта от $0$ до стойност малко над $-v_{0r}$. За всяко фиксирано по големина намаляване на скоростта $\Delta v$ може да запишем

Този път това е повече от времето за намаляване с $\Delta v$ ако няма съпротивление, което е

В обратната посока действа това, че при наличие на съпротивление спускането съдържа по-малко на брой интервали $\Delta t$, тъй като крайната скорост не достига до $-v_{0r}$.

Изглежда, че не е очевидно дали спускането със съпротивление отнема повече или по-малко време спрямо това във вакуум. Оттук не е и ясно дали общото време става повече или по-малко.

Оказва се, че това е много сложна задача, която зависи от точния модел за силата на съпротивление. Нека направим справка в Интернет, ограничавайки се до зависимости от типа $f(v) = \alpha|v|^n$. За тях се доказва, че при $n \geq 1$ времето за движение със съпротивление винаги е по-малко, а при $n < 1$ отговорът се определя от точната големина на началната скорост [1]. При нормални атмосферни условия [2] може да приемем $n = 2$. Сега вече отговаряме, че ако премахнем атмосферата, времето за движение на топката $\Delta t'$ би следвало да е по-голямо от измереното $\Delta t = 2{,}5\ \mathrm{s}$. Връщайки се на уравненията

които са верни при отсъствие на атмосфера, заключаваме, че реалната начална скорост е $v_{0r} > v_0 = 12\ \mathrm{m/s}$.

И така, оценката ни за височина на полета във вакуум на Луната се оказва занижена, тоест реалната стойност ще е над $H_L \approx 46\ \mathrm{m}$.

2. Лунна база с атмосфера. Тук ще използваме различен подход. Отново с $H$ и $H_L$ бележим теоретично изчислените максимални височини спрямо измереното $\Delta t$. Сега с $H_r$ и $H_{Lr}$ означаваме реалните максимални височини при наличие на атмосфера, съответно на Земята и Луната. Също така, с $A$ и $A_L$ означаваме модулите на работата на силата на триене върху топката от хвърлянето ѝ до достигането на максимална височина, съответно на Земята и Луната. Както и преди, реалната начална скорост на топката е $v_{0r} > v_0$.

Записваме закона за запазване на енергията в случаите със и без атмосфера:

При нормални скорости на хвърляне силата на съпротивление върху топката като цяло е доста по-малка от гравитационната сила, така че именно гравитацията е определяща за намаляването на скоростта, по-точно за зависимостта на скоростта $v$ от височината $h$. Тогава от графиката на тази зависимост $v(h)$ проличава, че $A_L$ е значително по-голяма от $A$.

Това е така, защото силата на съпротивление $f(v)$ е пропорционална на $|v|^2$, а работата ѝ допълнително зависи от изминатото разстояние, тоест $A \propto f\Delta h$. На Луната силата на съпротивление не само остава по-голяма, а и действа върху по-голямо изминато разстояние. И след като $A_L > A$, може да запишем

Теоретичната оценка за височина на полета се оказва завишена спрямо истинската, която ще е под $H_L \approx 46\ \mathrm{m}$.

Литература:

[1] https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/89/1/67/1045747/A-vertical-race-up-and-back-down-with-and-without

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)#The_drag_equation

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) За правилно извеждане на формулите за началната скорост и височината на полета на топката на Земята – 3 т.

За числени пресмятания – 1 т.

Б) За намиране на информация за гравитационното ускорение на Луната – 1 т.

За пресмятане на височината и времето на полета на Луната – 3 т.

В) За правилни разсъждения относно неотчитането на съпротивлението на въздуха и неговото влияние върху получените резултати – 2 т.

Забележка: От учениците не се изисква подробният анализ, даден в настоящото решение. Достатъчно е те да приведат кратки съображения, водещи до извода, че е трудно с определеност да предскажем в каква посока ще повлияе ефектът от неотчитането на съпротивлението на въздуха върху нашите оценки за търсените величини.