НОА 2025, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2. Живот в орбита

А) Тъй като от нас се иска да определим само приблизително интервала от време, в който станцията ще прелита през сянката на Земята, то не е необходимо да отчитаме някои несъществени за крайния резултат ефекти. Първият е конусообразната форма на земната сянка и нейното стесняване с отдалечаване от Земята, а вторият е разликата между орбиталния период на движение на станцията около Земята и точния период между две навлизания на станцията в земната сянка. Тази разлика се дължи на движението на Земята около Слънцето и в случая е от порядъка на 15 секунди. Това е несъществено, като се има предвид точността, с която са дадени изходните данни, и още повече, че поради наличието на полусянка, земната сянка няма рязка граница.

В условието е казано, че в дните на равноденствията орбитата на станцията минава през зенита по пладне за наблюдател на земния екватор. Следователно орбитата на станцията минава през зенита и за наблюдател на противоположната точка на земния екватор, където е полунощ. Тогава тези две точки от орбитата на МКС лежат на правата, свързваща центровете на Земята и Слънцето. Това означава, че МКС ще премине през централната линия на земната сянка, т.е. тя ще пресече земната сянка по нейния диаметър.

Както се вижда от схемата, докато МКС пресича земната сянка, тя се завърта на ъгъл $\beta$ по своята орбита около Земята. Означаваме с $R$ радиуса на Земята и с $H$ височината на орбитата на станцията. За ъгъла $\alpha$ можем да напишем:

Оттук намираме ъгъла $\beta$:

Означаваме с $P$ орбиталния период на станцията. Времето, през което за вас ще е нощ и вие няма да можете да наблюдавате Слънцето, в рамките на един орбитален период, ще бъде:

Б) В дните на слънцестоенията наклонът на равнината на орбитата към правата, свързваща центровете на Земята и Слънцето, ще бъде максимален. Тогава би могло да се случи в рамките на един орбитален период станцията да не навлезе в земната сянка. Можем да проверим дали това наистина е възможно.

На фигурата по-долу е представена ситуацията в деня на лятното слънцестоене. Дадена е такава ориентация на орбитата на станцията, при която би могло да се очаква тя да не навлиза в земната сянка. Най-благоприятното за тази цел положение на станцията в този случай е отбелязано с точка $A$. С $\varepsilon = 23°26'$ е отбелязан наклонът на земния екватор към еклиптиката, с $i$ е означен наклонът на орбитата на станцията към земния екватор. Ъгълът $\alpha$ вече бе пресметнат от нас и представлява ъгъла между посоката от центъра на Земята към МКС и посоката от центъра на Земята към най-отдалечената точка от земната повърхност, видима за наблюдател от МКС на хоризонта. Условието станцията да не навлиза в земната сянка е следното:

Пресмятаме сумата от тези ъгли и получаваме:

Следователно около деня на лятното слънцестоене е възможно да има интервали от време, по-големи от един орбитален период, през които станцията няма да навлиза в земната сянка и Слънцето ще може да се наблюдава непрекъснато. От схемата също се вижда, че в ситуация около зимното слънцестоене това отново е възможно (тогава слънчевите лъчи идват отляво).

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) За правилна пространствена представа за ситуацията и разбирането, че при равноденствията МКС пресича сянката на Земята по нейния диаметър – 3 т. За правилни алгебрични пресмятания и верен числен отговор – 3 т.
Б) За правилна пространствена представа за ситуацията, при която може да има интервал от време, по-голям от един орбитален период, без станцията да навлиза в земната сянка – 3 т. За математическо доказване на твърдението, че това е възможно – 2 т. За посочването на периодите около лятното и зимното слънцестоене като възможни случаи – 1 т.