Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Колонизатори на Плутон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група XI-XII клас · 12 т.

Условие

Представете си, че през 2113 г., когато Плутон е в афелий, е изградена термоизолирана база на Плутон, откъдето земните колонизатори успяват да извършват астрономически наблюдения въпреки външната температура от −229°C. Средното разстояние Слънце-Плутон е 39,5 au, а ексцентрицитетът на орбитата на Плутон е 0,25.

А) През коя година колонизаторите за пръв път ще могат да наблюдават Слънцето в перихелий? [2 т.]

Б) Колко пъти по-ярко ще бъде Слънцето в перихелий спрямо 2113 г.? [2 т.]

В) От 2113 г. до достигането на следващия перихелий колонизаторите на Плутон ще правят множество спектрални наблюдения на Слънцето, измервайки лъчевата му скорост. Каква се очаква да бъде средната стойност (по време) на лъчевата скорост на Слънцето за този времеви интервал? [2 т.]

Г) Колонизаторите на Плутон извършват точни астрометрични наблюдения на газовия гигант Нептун и изчисляват, че Плутон се доближава на 2,4 au от орбитата на Нептун, която е с радиус 30,1 au. Колко пъти по-малка би била гравитационната сила, с която Нептун влияе на Плутон от разстояние 2,4 au спрямо гравитационната сила, с която Слънцето влияе на Плутон в перихелий? Масата на Нептун е 19500 пъти по-малка от масата на Слънцето. Застрашава ли Нептун стабилността на орбитата на Плутон? Обосновете отговора си. [3 т.]

Д) Коя е първата година след изграждането на базата на Плутон, в която Слънцето ще бъде на 39,5 au от Плутон? [3 т.]

Решение

А) Голямата полуос е равна на средното разстояние от Слънцето по време $a = 39{,}5\ \mathrm{au}$ . По III закон на Кеплер пресмятаме орбиталния период на Плутон:

\frac{a^3}{T^2} = 1.

Получаваме период $T = 248\ \mathrm{yr}$ . Времето от афелий до перихелий е $T/2 = 124\ \mathrm{yr}$ . Годината ще е $2113 + 124 = \mathbf{2237}$ г.
Указание. Ако участникът е решил подусловието, знаейки наизуст орбиталния период на Плутон, получава пълния брой точки.

Б) Отношението максимално/минимално разстояние (афелий/перихелий) е

\frac{r_A}{r_P} = \frac{a(1+e)}{a(1-e)} = \frac{1{,}25}{0{,}75} = 5/3.

Яркостта (лъчистият поток на единица площ) от звезда е пропорционален на $1/r^2$ , където $r$ е разстоянието до звездата. Тогава отношението на яркоститите в перихелий и в афелий ще бъде $(5/3)^2 = 25/9 = \mathbf{2{,}78}$ пъти.

В) Средната стойност на лъчевата скорост при промяна на разстоянието $\Delta r$ от афелий до перихелий за времеви интервал $\Delta t$ е

v_R = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{r_P - r_A}{(T/2)} = \frac{a(1-e) - a(1+e)}{(T/2)} = -\frac{4ae}{T} = \mathbf{-0{,}76\ km/s}.

Г) Според закона за гравитацията силата, с която тяло с маса $M$ привлича тяло с маса $m$ от разстояние $r$ , е

F_G = \frac{GMm}{r^2}.

Записваме закона за системата Слънце-Плутон в перихелий и за системата Нептун-Плутон от разстояние $r_N = 2{,}4\ \mathrm{au}$ , делим почленно и получаваме отношение на силите

\frac{F_S}{F_N} = \frac{M_S}{M_N}\frac{r_N^2}{r_P^2} = (19500)\left(\frac{2{,}4}{29{,}625}\right)^2 \approx \mathbf{130}.

Тоест силата, с която Нептун би привличал Плутон от най-близката точка по орбитата си, би била около 1% от силата, с която Слънцето привлича Плутон, което би имало сериозен ефект. В действителност, обаче, Нептун и Плутон никога не са толкова близо един до друг. Силата от Нептун е на порядък по-малка, но все пак значима, обаче в обратната посока – тя стабилизира орбитата на Плутон. От III закон на Кеплер може да пресметнем, че Плутон и Нептун са в орбитален резонанс 3:2:

\frac{T}{T_N} = \left(\frac{a}{a_N}\right)^{3/2} = \left(\frac{39{,}5}{30{,}1}\right)^{3/2} \approx 1{,}5.

Дългосрочно орбитата на Плутон се мени около сегашните си параметри – с период ту малко над, ту малко под 3/2 от периода на Нептун (който е много по-масивното и стабилно тяло). Поради това, когато Плутон е около перихелий, Нептун е в отсрещната част на орбитата си, на различно място, но разстоянието между двете планети не става под 18 au. Плутон е най-големият обект от плутинотата – група транснептунови обекти в среден резонанс 3:2 с Нептун. Други големи плутинота са Оркус (също планета-джудже) и Иксион.

Д) Плутон ще е на разстояние 39,5 au от Слънцето (равно на голямата полуос), когато пресича малката полуос на орбитата си. От афелий до тази точка отсечката Слънце-Плутон ще опише площ

S = \frac{1}{4}\pi ab + \frac{1}{2}eab.

По II закон на Кеплер намираме времето $t$ за описване на тази площ:

\frac{S}{\pi ab} = \frac{t}{T}.

Заместваме и получаваме

t = T\left(\frac{1}{4} + \frac{e}{2\pi}\right) = 0{,}29T = 72{,}0\ \mathrm{yr}.

Първата година, в която Слънцето ще бъде на 39,5 au от Плутон ще е $2113 + 72 = \mathbf{2185}$ г.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) Общо – 2 т.
Б) Общо – 2 т.
В) Общо – 2 т.
Г) Общо – 3 т.
Д) Общо – 3 т.

Оригинал в Архива: 25-II-1112.pdf · официални решения: a25-II-1112.pdf