Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. От нищо – нещо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група XI-XII клас · 12 т.

Условие

Ефективната температура на повърхността на Слънцето е $T = 5770\ \mathrm{K}$ . Видимият му ъглов диаметър е $\delta = 32'$ .

А) Ако е известно, че оранжевият гигант (спектрален клас K2III) Арктур има видима болометрична звездна величина $m' = -0{,}1$ , оценете видимия ъглов диаметър на тази звезда за наблюдател на Земята. Видимата болометрична звездна величина на Слънцето е $m = -26{,}8$ . [4 т.]

Б) Албедото на Земята е $A = 0{,}30$ . Оценете средната температура на земната повърхност. Не отчитайте влиянието на земната атмосфера. [4 т.]

В) Оценете повърхностната яркост (звездната величина на една квадратна дъгова секунда) на хипотетична галактика, състояща се от подобни на Слънцето звезди, чиито дискове покриват $10^{-12}$ част от видимата ъглова площ на галактиката. Видимата звездна величина на Слънцето е $m = -26{,}8$ . [4 т.]

Решение

А) Ако една звезда има светимост $L$ , то на разстояние $r$ от нея тя създава осветеност

E = \frac{L}{4\pi r^2}.

Ако означим с $T$ ефективната температура на звездата, а с $R$ нейния радиус, то

L = 4\pi R^2\sigma T^4.

Оттук получаваме, че

E = \frac{4\pi R^2\sigma T^4}{4\pi r^2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2\sigma T^4 = \left(\frac{\delta[\mathrm{rad}]}{2}\right)^2\sigma T^4, \quad (1)

където $\delta$ е видимият ъглов диаметър на звездата.
Нека $E$ и $E'$ да са осветеностите, които Слънцето и Арктур създават за земния наблюдател. Съгласно закона на Погсън

\frac{E}{E'} = 10^{0{,}4(m'-m)}.

Звездата Арктур е от спектрален клас К. Съответно можем да предположим, че нейната температура $T'$ е приблизително равна на 4000 К.
Забележка. Точната стойност е 4290 К, но такава точност не се изисква от учениците. Ако използваната стойност е между 3500 К и 5000 К, следва да не се отнемат точки.
Ако $\delta'$ е видимият ъглов диаметър на Арктур, то от равенство (1) следва, че:

\frac{E}{E'} = \left(\frac{\delta}{\delta'}\right)^2\left(\frac{T}{T'}\right)^4.

Оттук достигаме до резултата

\delta' = \delta\left(\frac{T}{T'}\right)^2\sqrt{\frac{E'}{E}} \approx \mathbf{0{,}018''}.

Допустимите стойности за $\delta'$ , в зависимост от това каква стойност за температурата на Арктур е използвана, са между 0,012'' и 0,024''.

Б) Ще използваме равенство (1) от предишното подусловие. Ако $R$ е радиусът на Земята, то енергията, която нашата планета получава от Слънцето за единица време (лъчистият поток), е

\Phi = E\pi R^2 = \left(\frac{\delta[\mathrm{rad}]}{2}\right)^2\sigma T^4\pi R^2.

Албедото показва каква част от тази енергия се разсейва. Следователно попадащата върху Земята за единица време слънчева енергия, която отговаря за нагряването на нашата планета, е

(1-A)\Phi = (1-A)\left(\frac{\delta[\mathrm{rad}]}{2}\right)^2\sigma T^4\pi R^2.

В разглежданата ситуация нашата планета ще се нагрява, докато не достигне някаква равновесна температура $T_E$ . При тази температура електромагнитната енергия, която Земята излъчва от цялата си повърхност, ще се изравни със слънчевата енергия, която я нагрява. Затова е в сила е следното равенство:

(1-A)\left(\frac{\delta[\mathrm{rad}]}{2}\right)^2\sigma T^4\pi R^2 = \sigma T_E^4 4\pi R^2.

Оттук получаваме

T_E = \frac{T}{2}\sqrt{\delta[\mathrm{rad}]}(1-A)^{1/4} \approx \textbf{255 K}.

В) Нека да изразим осветеността, която се създава от единица ъглова площ от диска на звезда с температура $T$ . Ъгловата площ на диска на звезда можем да дефинираме като

\Omega = \frac{\pi\delta[\mathrm{rad}]^2}{4}.

В комбинация с уравнение (1) това ни дава

\frac{E}{\Omega} = \frac{\sigma T^4}{\pi}.

Изводът е, че тази величина зависи само от температурата на звездата. Това означава, че ако видимият диск на галактиката е изпълнен изцяло с подобни на Слънцето звезди (т.е. имащи температура, равна на температурата на Слънцето), то повърхностната яркост, която търсим, би била равна на звездната величина $\mu$ , която има една квадратна дъгова секунда от слънчевия диск.

Нека да пресметнем стойността на $\mu$ . Първо намираме ъгловата площ на Слънцето в квадратни дъгови секунди:

\Omega = \frac{\pi\delta^2}{4} \approx 2{,}90\cdot 10^6\ \mathrm{arcsec}^2.

Като знаем, че звездната величина на целия слънчев диск е $m$ , използвайки закона на Погсън, получаваме, че звездната величина, която съответства на $1\ \mathrm{arcsec}^2$ , е:

\mu = m + 2{,}5\lg(\Omega[\mathrm{arcsec}^2]) = -10{,}65\ \mathrm{mag/arcsec}^2.

В условието на задачата е казано, че дисковете на звездите покриват $10^{-12}$ от видимата ъглова площ на галактиката. Следователно една квадратна дъгова секунда от тази галактика създава $10^{12}$ пъти по-малка осветеност от същата ъглова площ от слънчевия диск. Така търсената повърхностна яркост на галактиката е:

\mu' = \mu + 2{,}5\lg(10^{12}) = \textbf{19{,}35 mag/arcsec}^2.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) За правилно математическо изразяване на осветеността чрез видим ъглов диаметър и температура – 2 т.
За достоверна стойност на температурата на Арктур – 0,5 т.
За правилни математически преобразования и правилен краен израз за видимия ъглов диаметър на Арктур – 1 т.
За верен числен резултат – 0,5 т.
Б) За правилно изразяване на слънчевата енергия, която попада за единица време върху Земята – 1 т.
За правилно изразяване на слънчевата енергия, която се поглъща – 0,5 т.
За правилни разсъждения относно температурата, до която Земята ще се нагрее, и верен израз – 2 т.
За верен числен резултат – 0,5 т.
В) За доказване на това, че осветеността от единица ъглова площ зависи само от температурата на звездата – 2 т.
За правилно изразяване на повърхностната яркост на слънчевия диск – 1 т.
За правилно изразяване на повърхностната яркост на диска на галактиката и верен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: 25-II-1112.pdf · официални решения: a25-II-1112.pdf