Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 5–6 клас — Задача 5. Две звезди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група V-VІ клас · 23 февруари 2025 г.

Условие

Намирате се на земния екватор и в 20:00 часа виждате две ярки звезди – звезда А е над главата Ви (в зенит), докато звезда В изгрява на хоризонта, право в точката изток. В следващите часове наблюдавате движението на звездите и установявате, че звезда В се издига право нагоре и също достига зенита.

А) За наблюдател на екватора земната ос сочи към точката север на хоризонта. Коя ярка звезда е там и от кое съзвездие е тя? [3 т.]

Б) Колко градуса е била височината над хоризонта на звездите А и В в 22:30 на същия ден? [3 т.]

В) В колко часа ще изгрее всяка от двете звезди 17 дни по-късно? Земята се върти около оста си с период 23 часа и 56 минути. Заради това, звездите видимо се завъртат по небето със същия период. [3 т.]

Г) Тъй като отнема време на светлината да измине големите разстояния в космоса, виждаме звездите така, както са изглеждали в миналото, когато светлината от тях е била излъчена. Разстоянието до звездата А е 6 пъти по-голямо от разстоянието до звездата В. Ние виждаме звезда А, каквато е била с 60 години по-назад в миналото, отколкото звездата В. На колко светлинни години от нас е звездата А? Светлинната година е разстоянието, което светлината изминава за една година. [3 т.]

Решение

Решение.
А) Земната ос сочи към северния небесен полюс. За наблюдател на екватора той е в точката север на хоризонта. Ярката звезда близо до северния небесен полюс наричаме Полярната звезда. Тя се намира в съзвездието Малка мечка (Ursa Minor), откъдето и идва обозначението ѝ α UMi.

Б) Времето от 20:00 до 22:30 часа поясно време е с продължителност 2,5 часа. Ако приемем, че Земята се завърта около оста си за приблизително 24 часа, то за това време звездите описват 360-градусов кръг по небето. Ъгъла $\alpha$ , който ще изминат те за 2,5 часа, пресмятаме с пропорция:

\frac{2{,}5}{24} = \frac{\alpha}{360°}.

Получаваме $\alpha = 37{,}5°$ . За наблюдател на екватора звезда В ще се отмести право нагоре с ъгъл $\alpha$ , така че в 22:30 височината ѝ ще бъде 37,5°.

След като звезда В изгрява точно от изток и достига зенит, то звезда А, която в 20:00 е в зенит, е изгряла от изток около 6 часа по-рано. Тя ще продължи по своя път (наречен „денонощен паралел“) в същата посока, която е от зенита право надолу към точката запад. Съответно, височината ѝ ще намалее с 37,5° и в 22:30 ще бъде $90° - 37{,}5° = \mathbf{52{,}5°}$ .

Уточнение. Малко по-точно би било да се използва истинският период на завъртане на Земята около оста, който не е 24 h, а 23 h 56 min = 23,93 h. Така получаваме по-точната стойност $\alpha = 37{,}6°$ . Двете височини в 22:30 са съответно 37,6° и 52,4°. Подобна точност не се изисква от учениците.

В) За това подусловие вече не можем да закръглим периода на околоосно въртене на Земята до 24 h и трябва да ползваме истинската стойност – 23 h 56 min. Тъй като звездите видимо се завъртат по небето със същия период, а едно денонощие е 24 h, това означава, че всяка звезда повтаря положението си на следващия ден 4 минути по-рано спрямо предишния. След 17 дни положението ще се повтори $17 \cdot 4\ \mathrm{min} = 68\ \mathrm{min}$ по-рано по часовника.

В дадения ден звезда А изгрява с време равно на 1/4 от периода за завъртане преди 20:00, тъй като разстоянието от точката изток до зенита е 90° или 1/4 от кръга. Тоест, звезда А изгрява в дадения ден 5 h 59 min преди 20:00 или в 14:01. Звезда В изгрява в 20:00. След 17 дни изгревите на двете звезди ще бъдат 68 min = 1 час и 8 минути по-рано, т.е. в 12:53 (за звезда А) и в 18:52 (за звезда В).

Указание. Грешка до 2 минути в крайния резултат да не се наказва.

Г) Нека да обозначим разстоянието до звезда В с $x$ . Тогава разстоянието до звезда А ще бъде $6x$ . След като виждаме звезда А с 60 години по-назад в миналото спрямо звезда В, то светлината пътува от звезда А с 60 години по-дълго и следователно разстоянието до звезда А е с 60 светлинни години повече. Тоест $6x - x = 5x = 60$ светлинни години, откъдето $x = 12$ светлинни години. Разстоянието до звезда А е $6x = \mathbf{72}$ светлинни години.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) Общо – 3 т.
Б) Общо – 3 т.
В) Общо – 3 т.
Г) Общо – 3 т.

Оригинал в Архива: 25-II-56.pdf · официални решения: a25-II-56.pdf