Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5. Колонизатори на Плутон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група VII-VIII клас · 23 февруари 2025 г. · 12 т.

Условие

На общинския кръг на олимпиадата се запознахте с планетата джудже Плутон. Средното разстояние Слънце-Плутон е 39,5 au. Ексцентрицитетът на орбитата на Плутон е 0,25, т.е. максималното разстояние Слънце-Плутон е с 25% по-голямо от средното, а минималното – с 25% по-малко от средното. Плутон обикаля около Слънцето за 248 години.

Представете си, че през 2113 г., когато Плутон е в афелий (най-далече от Слънцето), е изградена термоизолирана база на Плутон, откъдето земните колонизатори успяват да извършват астрономически наблюдения въпреки външната температура от –229 °C.

А) Колонизаторите на Плутон са в непрестанен контакт с контролния център на Земята, но не получават отговори веднага, тъй като отнема известно време на радиосигналите, движещи се със скоростта на светлината във вакуум c = 300 000 km/s, да изминат нужните разстояния. Колко най-малко часа след като са изпратили съобщение до Земята през 2113 г. могат колонизаторите да очакват отговора на това съобщение? [5 т.]

Б) В следващия век видимият блясък на Слънцето за наблюдателите на Плутон ще се усилва до достигането на перихелия на Плутон през 2237 г. Астрономите на Плутон ще установят опитно, че при наблюдения с телескоп с много голямо увеличение повърхностната яркост на слънчевия диск (т.е. колко е ярка точка от образа на Слънцето) не се променя с приближаването до Плутон. Колко пъти по-ярко ще е Слънцето на небето на Плутон през 2237 г., в сравнение с 2113 г.? [4 т.]

В) Въпреки че Плутон е много далече, колонизаторите на Плутон няма да са осезаемо по-близо до звездите от наблюдателите на Земята. Приблизително колко пъти по-голямо спрямо максималното разстояние Слънце-Плутон е разстоянието от Слънцето до най-близката звезда? [3 т.]

Справочни данни:

Една светлинна година (ly) е 63240 au, а 1 au = $149{,}6.10^{6}$ km.

Отговори

Решение

Решение.

А) Орбитата на Плутон има голяма полуос (равна на средното разстояние до Слънцето) $a = 39{,}5\ \mathrm{au}$ и ексцентрицитет $e = 0{,}25$ . В условието тези параметри са указани с думи. Афелийното разстояние до Слънцето намираме по формулата

r_A = a(1 + e) = 49{,}375\ \mathrm{au}.

Това ще е разстоянието Слънце-Плутон през 2113 г.

Ако колонизаторите изпратят съобщение до Земята през 2113 г., времето за получаване на отговор би било минимално, ако Земята е най-близо (ако Слънце-Земя-Плутон са на една права линия). Тогава разстоянието Плутон-Земя би било $r_A - 1\ \mathrm{au}$ , сумарният път на съобщението и отговора би бил $2(r_A - 1\ \mathrm{au})$ , а минималното търсено време би било

t = \frac{2(r_A - 1\ \mathrm{au})}{c} = \frac{96{,}75\ \mathrm{au}}{c} = \frac{96{,}75.149{,}6.10^{6}\ \mathrm{km}}{300000\ \mathrm{km/s}} = 48246\ \mathrm{s} = \mathbf{13{,}4\ h}.

Б) Разстоянието Слънце-Плутон в перихелий е

r_P = a(1 - e) = 29{,}625\ \mathrm{au}.

Отношението максимално/минимално разстояние (афелий/перихелий) е

\frac{r_A}{r_P} = \frac{a(1 + e)}{a(1 - e)} = \frac{1{,}25}{0{,}75} = 5/3.

Подусловието може да се реши по два начина.

Начин I: Яркостта (лъчистият поток на единица площ) от звезда е пропорционална на $1/r^2$ , където $r$ е разстоянието до звездата. Тогава отношението на яркостите в перихелий и в афелий ще бъде $(5/3)^2 = 25/9 = 2{,}78$ пъти.

Начин II: В условието е указано, че повърхностната яркост на точка от слънчевия диск се запазва при промяна на разстоянието. Следователно яркостта на цялото Слънце ще зависи от видимата ъглова площ на слънчевия диск, която зависи от ъгловия му размер на 2-ра степен. Ъгловият размер е обратнопропорционален на разстоянието. Затова отношението на яркостите на Слънцето за Плутон в 2237 г. и в 2113 г. ще бъде $(5/3)^2 = 2{,}78$ пъти.

В) Разстоянието от Слънцето до най-близката звезда Проксима е 4,25 ly = 268770 au. Максималното разстояние Слънце-Плутон (от подусловие А)) е 49,375 au. Отношението на двете разстояния е около 5440. Ако достигнем Плутон, ще сме на по-малко от 1/5000 част от пътя до най-близката звезда.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) Общо – 5 т.

Б) Общо – 4 т.

В) Общо – 3 т. (Ориентировъчни критерии: Отношение 4000 – 7000: 3 т., 1000 – 15 000: 2 т., 200 – 50 000: 1 т.)

Оригинал в Архива: 25-II-78.pdf · официални решения: a25-II-78.pdf