НОА 2025, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Странният Меркурий

Решение.
А) Нека първо да дадем качествено обяснение на явлението. На схемата по-долу е показана планета, която се движи по кръгова орбита около Слънцето и се върти около оста си в същата посока (това е изпълнено за Меркурий). В момента, в който планетата е в положение 1, за дадена точка от нейната повърхност настъпва местно пладне. Нека да приемем, че за интервала от време между положения 1 и 2 планетата е извършила точно едно пълно завъртане около оста си, спрямо далечните и неподвижни звезди (изминало е едно звездно денонощие). Планетата също така се е придвижила по своята орбита и в резултат от това Слънцето видимо се е преместило по нейната еклиптика. Това преместване е в посоката на въртенето на планетата около нейната ос. Поради това, за да настъпи отново момент на местно пладне за същата точка (т.е. да измине едно слънчево денонощие, считано от положение 1), планетата трябва да се завърти на още някакъв ъгъл около оста си и да достигне положение 3.
Ако продължителността на орбиталния период на планетата е много по-голяма от звездното денонощие, то видимото изместване на Слънцето по еклиптиката в рамките едно денонощие не е голямо. По тази причина разликата между слънчевото и звездното денонощие за тази планета не е голяма (както е при Земята). От дадените ни справочни данни обаче виждаме, че при Меркурий продължителността на звездното денонощие и орбиталният период се отнасят почти точно както 2:3. При това положение, точките по Меркурий, при своето въртене около оста му, много бавно „настигат“ Слънцето и би следвало слънчевото денонощие действително да бъде много продължително.

Нека да извършим и количествените пресмятания. Ако означим продължителността на слънчевото денонощие на Меркурий с $T$, то можем да запишем равенството

Оттук намираме, че

Забелязваме, че продължителността на слънчевото денонощие е приблизително двойно по-голяма от продължителността на меркурианската година.

Б) Ако Меркурий се движеше по своята орбита в обратна посока, то за продължителността на слънчевото денонощие там $T'$ щеше да е в сила равенството

Така получаваме

Това означава, че в тази хипотетична ситуация интервалът от време между два последователни момента на местно пладне би бил около 5 пъти по-кратък, отколкото при настоящата ситуация.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) За правилно качествено обяснение на явлението – 4 т.
За правилен израз за слънчевото денонощие на Меркурий – 3 т. (от учениците не се изисква да извеждат използваната формула)
За верен числен резултат и коментар – 1 т.
Б) За правилен израз за слънчевото денонощие на Меркурий, в случай на движение по орбитата в обратна посока – 3 т.
За верен числен резултат и анализ – 1 т.