Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Флагът на Аляска

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2025 г. · 12 т.

Условие

На Фигура 1 виждате официалния флаг на американския щат Аляска (с обърнати цветове), с нанесени допълнително букви. Флагът показва схематично седемте най-ярки звезди от съзвездието Голяма мечка (UMa) и Полярната звезда. Полярната звезда е отбелязана допълнително с P, а всяка от 7-те други звезди – с гръцката буква от Байеровото ѝ обозначение:

Дубхе (α UMa) с „α“, - Мерак (β UMa) с „β“, - Фекда (γ UMa) с „γ“,
Мегрец (δ UMa) с „δ“, - Алиот (ε UMa) с „ε“, - Мицар (ζ UMa) със „ζ“,
Алкаид (η UMa) с „η“.

Звездата Алкаид е с екваториални координати:
ректасцензия $\alpha = 13^{\mathrm{h}}\,47^{\mathrm{m}}$ , деклинация $\delta = +49°18'$ .

А) Приемайки, че северният небесен полюс е точно в Полярната звезда, направете необходимите измервания по изображението и пресметнете екваториалните координати на Дубхе (α UMa). [4 т.]

Б) Звездите Мерак (β UMa) е на приблизително същото разстояние от Слънцето като звездата Мицар (ζ UMa) – около 25 pc (парсека). Пресметнете приблизително разстоянието между Мерак и Мицар в космоса, в парсеци. [5 т.]

В) Най-ярките 7 звезди от Голямата мечка не залязват, наблюдавано от България. Назовете още три съзвездия, чиито най-ярки звезди не залязват, наблюдавано от България. [3 т.]

Схематично изображение на флага на Аляска с осем звезди: Полярната звезда (P) горе вдясно, и седем звезди на Голямата мечка, означени с гръцки букви η, ζ, ε, δ, α, β, γ, свързани приблизително в характерната форма на съзвездието. — Фигура 1. Флагът на Аляска (към Задача 3).

Упътване:
За ъгловите мерки по небето е вярно $1^{\mathrm{h}} = 60^{\mathrm{m}}$ , $1° = 60'$ , $1^{\mathrm{h}} = 15°$ .
Деклинацията расте в посока към северния небесен полюс (небесен север) и максималната ѝ стойност е $+90°$ . Ректасцензията расте в посока небесен изток, т.е. наляво по звездната карта спрямо посоката от коя да е точка по небето към северния небесен полюс. Това означава, че по звездните карти посоката изток е наляво спрямо посоката север, докато по географските карти е надясно.

Решение

Решение.
А) Нека да направим допускането, че флагът е карта, коректно изобразяваща Голямата мечка и Полярната звезда в еквидистантна полярна проекция – проекция, центрирана на полюса, в която небесните меридиани към него са прави линии. В такава проекция разстоянията от полюса до всяка звезда по права линия биха били пропорционални на ъгловите разстояния по небето.
Измерваме с линия разстоянието полюс – Алкаид (PA). То съответства на ъглово разстояние $90°- \delta_A = 90° - 49°18' = 40{,}7°$ . Използваме това разстояние, за да мащабираме изображението в градуси на милиметър. Ползваме този мащаб, за да измерим и пресметнем разстоянието полюс – Дубхе (PD). Получаваме ъглово разстояние $90°- \delta_D = 27{,}55°$ и деклинация на Дубхе $\delta_D = 90° - 27°33' = \mathbf{+62°27'}$ . Истинската стойност е $+61°45'$ , т.е. ние сме сгрешили с $0,7°$ .
Ъгълът Алкаид – полюс – Дубхе дава разликата $\Delta\alpha$ в ректасцензиите на Алкаид и Дубхе. Измерваме с транспортир и получаваме $\Delta\alpha = 44{,}78° = 2^{\mathrm{h}}59^{\mathrm{m}}$ . Тъй като ректасцензията расте на изток, ректасцензията на Алкаид е по-голяма от тази на Дубхе. Вадим $\Delta\alpha$ от ректасцензията на Алкаид и получаваме $13^{\mathrm{h}}47^{\mathrm{m}} – 2^{\mathrm{h}}59^{\mathrm{m}} = \mathbf{10^{\mathrm{h}}48^{\mathrm{m}}}$ . Истинската ректасцензия на Дубхе е $11^{\mathrm{h}}03^{\mathrm{m}}$ , т.е. тук сме сгрешили с $3,7°$ .
С оглед на факта, че Полярната звезда в действителност е на $0,7°$ от северния небесен полюс, можем да кажем, че оценката за деклинацията на Дубхе е много добра, а за ректасцензията – относително добра. Грешките ни идват предимно от неточности в положенията на звездите върху флага – повече, отколкото от допускането, че Полярната звезда съвпада със северния небесен полюс.

Схема на съзвездието Голяма мечка с обозначени звезди Дубхе, Алкаид, Мерак, Мицар и северния небесен полюс, с показани разстояния PA, PD и ъгъл Δα.

Б) Измерваме ъгловото разстояние Мерак (β UMa) – Мицар (ζ UMa) в mm, използваме мащаба от подусловие А) и изчисляваме ъглово разстояние $21,8°$ . Истинското ъглово разстояние между двете звезди е $\theta = 19,9°$ .
Тъй като двете звезди са на еднакво разстояние $r$ от нас, можем да разгледаме отсечката между тях като напречно разстояние $d$ , перпендикулярно на зрителния лъч. Можем да пресметнем разстоянието приблизително по формулата за ъглов размер:
$d = \theta r = 9{,}5\ \mathrm{pc}.$
В действителност, тази формула е точна само за малки ъгли и за ъгъл $21,8°$ дава около 1% грешка. Малко по-точно би било да се използва косинусова теорема за триъгълника Слънце – Мерак – Мицар, но резултатът отново се закръгля до $\mathbf{9,5\ pc}$ , а и в действителност закръглянето на двете разстояния до 25 pc е с повече от 1%.
Трети (допустим) метод би бил да се начертае равнобедрен триъгълник Слънце – Мерак – Мицар с ъгъл при Слънцето $21,8°$ и резултатът да се получи графично, обаче този метод изисква висока прецизност и не е за препоръчване.

В) Съзвездията, чиято най-ярка звезда не залязва, наблюдавано от някоя точка в България, освен Голямата мечка, са:
Малка мечка (UMi), Дракон (Dra), Жираф (Cam), Касиопея (Cas), Цефей (Cep), Колар (Aur), Персей (Per), Гущер (Lac).

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) Общо – 4 т.
Б) Общо – 5 т.
В) За назоваване на три от дадените съзвездия – 3 × 1 т. = 3 т.

Оригинал в Архива: 25-II-910.pdf · официални решения: a25-II-910.pdf