Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5. Парад на планетите

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2025 г. · 12 т.

Условие

На 12 август 2010 година четири планети и Луната се виждаха от наблюдател, намиращ се в северното полукълбо на Земята, близо една до друга и ниско над хоризонта. На приложената карта (Фигура 2) освен планетите е начертана линията на хоризонта и положението на Слънцето под него. Върху линията на хоризонта е построена и скала на азимута, с нула в посока към северния географски полюс.

А) В коя географска посока гледа наблюдателят? Възможно ли е Марс и Сатурн да са близо до източна квадратура и защо? [3 т.]

Б) Начертайте приблизително положението на еклиптиката върху картата, като имате предвид, че Регул е на около половин градус над еклиптиката за наблюдател в северното полукълбо, а Спика – на около 2 градуса под еклиптиката. [2 т.]

В) Каква е възрастта на Луната в дни (време в дни след новолуние)? [2 т.]

Г) Като използвате данните от таблицата, определете приблизително разстоянието между Марс и Венера и между Меркурий и Сатурн. Радиусите на орбитите са дадени в таблицата в астрономически единици. [5 т.]

Упътване: Работете графично. Разположете орбитите на Земята и вътрешните планети и части от орбитите на външните планети по подходящ начин и в подходящ мащаб върху една пълна страница А4. Нарисувайте планетите върху техните орбити така, както са били разположени в пространството при тяхното наблюдение, и ги означете. Измервайте разстоянията с линия в милиметри и ги превърнете чрез пресмятания в астрономически единици. Всички планети и Слънцето са означени върху картата със символни изображения (а не в правилния мащаб).

Планета	Меркурий	Венера	Марс	Сатурн
Радиус на орбитата [au]	0,39	0,72	1,52	9,54

Справочни данни:
Синодичен месец на Луната $T_{\mathrm{syn}} = 29{,}53\ \mathrm{d}$
Сидеричен месец на Луната $T_{\mathrm{sid}} = 27{,}32\ \mathrm{d}$

Звездна карта с част от съзвездията Дева и Лъв; означени са Спика, Марс, Сатурн, Венера, Луна, Меркурий, Регул и Слънце (под хоризонта), с линия на хоризонта и скала на азимута отдолу (240°, 270°). — Фигура 2. Гледка на 12 август 2010 г. (към Задача 5).

Решение

Решение.

А) Върху линията на хоризонта, недалеч от централната точка, виждаме означение за стойност на азимута 270°. Това е географски азимут, с нула насочена към географския север, и следователно посоката, в която гледа наблюдателят, е запад. Това се потвърждава от положението на Слънцето под хоризонта и разположението на планетите, които са в близост до еклиптиката, която за наблюдател намиращ се в северното полукълбо на Земята се издига над хоризонта наляво от Слънцето, когато гледаме в посока запад.

На картата Марс и Сатурн се виждат недалеч от Венера. Венера има максимална елонгация $E_V$ от Слънцето

E_V = \arcsin\left(\frac{r_V}{r_T}\right) \approx 46^{\circ},

където $r_V$ и $r_T$ са радиусите на орбитите на Венера и Земята.

Същия резултат може да получим, ако начертаем орбитите на Земята и Венера, и от точка, лежаща върху орбитата на Земята, спуснем два лъча – единият към Слънцето, а другият допирателен към орбитата на Венера. Ъгълът, който сключват двата лъча, е равен на максималната елонгация на Венера – 46°.

Венера не може да се отдалечава от Слънцето на по-голям ъгъл. Следователно Марс и Сатурн са на приблизително същия или по-малък ъгъл от Слънцето. Но в източна квадратура те трябва да се виждат на 90° източно от Слънцето. Следователно не е възможно Марс и Сатурн да са близо до източна квадратура.

Б) Еклиптиката преминава на 2° северно от Спика и на 0,5° южно от Регул. За да намерим точките, през които преминава еклиптиката, трябва да пресметнем на колко милиметра отговаря 1° от картата. Измерваме разстоянието между двата маркера върху линията на хоризонта и получаваме, че то е равно на 81 mm. Това разстояние съответства на ъгъл 30°. Следователно изобразяването на ъглите върху картата става с мащаб

k = \frac{81\ \mathrm{mm}}{30^{\circ}} = 2{,}7\ \mathrm{mm}/^{\circ}.

За разстоянието $l_1$ от Спика до еклиптиката получаваме

l_1 = 2^{\circ} \cdot k = 5{,}4\ \mathrm{mm}.

А за разстоянието $l_2$ от Регул до еклиптиката се получава

l_2 = 0{,}5^{\circ} \cdot k = 1{,}35\ \mathrm{mm}.

Построяваме точките, отстоящи на съответните разстояния до звездите, като се стремим отсечките с пресметнатите дължини да са приблизително перпендикулярни на еклиптиката, чието предполагаемо положение се подсказва от разположението на Слънцето и планетите. Освен това не забравяме, че Слънцето лежи на еклиптиката. Затова построяваме еклиптиката, като се стремим Слънцето и трите точки да лежат върху нея или много близо до нея.

Забележка. Еклиптиката построяваме като права линия, защото се изисква приблизителното ѝ положение, а и не разполагаме с достатъчно информация, за да я изобразим по друг начин.

В) За да пресметнем възрастта на Луната в дни, трябва да намерим ъгловото ѝ отстояние от Слънцето. Построяваме линия, която свързва центровете на Луната и Слънцето. Измерваме нейната дължина и получаваме, че тя е 115 mm. Използваме мащаба $k$ , за да намерим ъгъла $\theta$ между Луната и Слънцето:

\theta = \frac{l_3}{k} = \frac{115}{k} = 42{,}6^{\circ}.

Един пълен цикъл на промяна на фазите на Луната е равен на синодичния ѝ период $T_{\mathrm{syn}}$ . Относно направлението към Слънцето, Луната изминава за този период 360°. Тогава ъгълът $\theta$ между Луната и Слънцето се изминава за:

t_{\mathrm{Luna}} = \frac{42{,}6^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 29{,}53^{\mathrm{d}} = 3{,}49^{\mathrm{d}} \approx 3{,}5^{\mathrm{d}}

Възрастта на Луната в дни е приблизително 3,5 денонощия (толкова денонощия са изминали от новолунието до момента на наблюдение).

Г) За да изобразим орбитите на планетите, приемаме, че всички те лежат всички в равнината на еклиптиката. Ъглите между посоките към тях ще измерваме също в равнината на еклиптиката. Затова на картата спускаме перпендикуляри от планетите към еклиптиката. По еклиптиката измерваме необходимите разстояния в милиметри между двойките планети и между планетите и Слънцето. След това с помощта на получения мащаб преизчисляваме разстоянията в градуси върху небесната сфера (в случая върху картата). Получаваме следните резултати:

Слънце – Венера: 124 mm – 45,9°
Слънце – Меркурий: 73.5 mm – 27,2°
Венера – Марс: 7 mm – 2,6°
Меркурий – Сатурн: 40 mm – 14,8°

Нека линейният мащаб на схемата е 20 mm на астрономическа единица. Тогава радиусите на орбитите на планетите върху схемата ще бъдат:
Меркурий – 7,8 mm, Венера – 14,4 mm, Земя – 20,0 mm, Марс – 30,4 mm, Сатурн – 190,8 mm.

Звездна карта с линия на хоризонта, скала на азимута, съзвездията Дева и Лъв, звездите Спика и Регул, Слънцето под хоризонта, планетите и Луната, начертана еклиптика и лъчи 1–5. — Гледка на 12 август 2010 г. (към решението на Задача 5)

Приемаме, че гледаме към Слънчевата система от северния еклиптичен полюс. Тогава планетите се въртят в посока, обратна на часовниковата стрелка, и посоката изток е наляво.

Избираме подходящо място за Земята по нейната орбита, така че да можем да разположим и останалите планети в границите на страницата.

Полученият ъгъл за Венера е много близък по стойност до максималната ѝ елонгация. Следователно Венера се намира много близо до своята максимална източна елонгация. Прекарваме допирателна линия (лъч 2) към орбитата на Венера и в точката на допиране фиксираме положението на планетата.

Ъгълът на отстояние на Меркурий от Слънцето е дори по-голям от средната максимална елонгация, която е 23°. Средната елонгация пресмятаме от дадения в таблицата радиус на орбитата на Меркурий, аналогично на максималната елонгация на Венера, или определяме от схемата на орбитите използвайки транспортир, като измерваме ъгъла между посоката към Слънцето (лъч 5) и допирателната към орбитата на Меркурий. Причината на несъответствието е в това, че орбитата на Меркурий доста силно се отличава от кръгова и Меркурий не само е в максимална източна елонгация, но е и близо до афелия на своята орбита. Прекарваме лъч 4 съгласно измерения и пресметнат от картата ъгъл и поставяме планетата там, където тя би била, ако отчитаме това, че Меркурий е близо до афелия на своята орбита.

Марс е само на 2,6° източно от посоката към Венера. Построяваме лъч 1 на 2,6° наляво от лъч 2, който сочи към Венера. В точката на пресичане с орбитата на Марс фиксираме положението на планетата.

Посоката към Сатурн (лъч 3) е на 14,8° източно от посоката към Меркурий (лъч 4). Построяваме лъч 3 и в точката на пресичане с орбитата на Сатурн фиксираме положението на планетата.

След като сме означили положенията на планетите върху схемата, измерваме с линия разстоянието в милиметри между Марс и Венера и между Меркурий и Сатурн. След това пресмятаме разстоянията в астрономически единици, като делим на 20 (по-горе приехме, че една астрономическа единица се изобразява на схемата като отсечка с дължина 20 mm). Получаваме:
За разстоянието Марс-Венера: 25,5 mm и 1,28 au.
За разстоянието Меркурий-Сатурн: 188 mm и 9,4 au.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За правилно определяне на посоката – 1 т.
За правилно разсъждение защо Марс и Сатурн са далеч от конфигурация източна квадратура – 2 т.

Б) За правилно построяване на еклиптиката – 2 т.
(Ако еклиптиката не минава през Слънцето, се отнема 1 т.)

В) За правилно определяне на възрастта на Луната в дни (в граници $3\text{-}4^{\mathrm{d}}$ ) – 2 т.

Г) За правилно построяване на схемата с орбитите на планетите в подходящ мащаб – 3 т.
(За правилни разсъждения относно проблема с Меркурий – поощрение +1 т.)
За правилен начин на определяне разстоянията между планетите и за верен числен резултат – 2 т.

Схема на орбитите на Меркурий, Венера, Земя, Марс и Сатурн около Слънцето с означени точки Т, V, Ms, M и лъчи 1–5. — Схема на орбитите на планетите с положенията на планетите върху тях. Към решението на Задача 5.

Повторена звездна карта от условието с планетите, Луната, Слънцето и линията на хоризонта. — Фигура 2. Гледка на 12 август 2010 г. (към Задача 5)

Оригинал в Архива: 25-II-910.pdf · официални решения: a25-II-910.pdf